箱の中に1から10までの整数が書かれたカードが1枚ずつ入っている。この箱からカードを1枚取り出し、書かれた数字を記録して箱に戻す操作を3回繰り返す。このとき、以下の確率を求める。 (1) 記録された数字の最大値が6以下である確率 (2) 記録された数字の最大値が6である確率

1. 問題の内容

箱の中に1から10までの整数が書かれたカードが1枚ずつ入っている。この箱からカードを1枚取り出し、書かれた数字を記録して箱に戻す操作を3回繰り返す。このとき、以下の確率を求める。

(1) 記録された数字の最大値が6以下である確率

(2) 記録された数字の最大値が6である確率

2. 解き方の手順

(1) 最大値が6以下である確率

3回の試行すべてにおいて、1から6のいずれかの数字が出ればよい。

1回の試行で1から6の数字が出る確率は $\frac{6}{10}$ = $\frac{3}{5}$である。

3回の試行で最大値が6以下である確率は $(\frac{3}{5})^3$である。

(2) 最大値が6である確率

最大値が6であるということは、3回の試行のうち少なくとも1回は6が出て、かつ3回の試行すべてで6以下の数字が出ている必要がある。

言い換えると、3回とも6以下の数字が出て、かつ3回とも5以下の数字が出るという場合を除けばよい。

3回とも6以下の数字が出る確率は(1)で求めた通り $(\frac{6}{10})^3$ = $(\frac{3}{5})^3$である。

3回とも5以下の数字が出る確率は$(\frac{5}{10})^3$ = $(\frac{1}{2})^3$である。

したがって、最大値が6である確率は $(\frac{3}{5})^3 - (\frac{1}{2})^3$ である。

3. 最終的な答え

(1) 最大値が6以下である確率： $(\frac{3}{5})^3 = \frac{27}{125}$

(2) 最大値が6である確率： $(\frac{3}{5})^3 - (\frac{1}{2})^3 = \frac{27}{125} - \frac{1}{8} = \frac{216 - 125}{1000} = \frac{91}{1000}$