12本のくじがあり、そのうち3本が当たりである。この中から同時に3本のくじを引くとき、当たりが2本、はずれが1本である確率を求めよ。

1. 問題の内容

12本のくじがあり、そのうち3本が当たりである。この中から同時に3本のくじを引くとき、当たりが2本、はずれが1本である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は確率の問題であり、組み合わせの考え方を用いて解く。

ステップ1: 全事象の数を求める。

12本のくじの中から3本のくじを引く組み合わせの総数を求める。これは $_{12}C_3$ で表される。

$_{12}C_3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$

したがって、全事象の数は220通りである。

ステップ2: 当たりが2本、はずれが1本となる事象の数を求める。

3本の当たりくじから2本を選ぶ組み合わせは $_{3}C_2$ 通りである。

$_{3}C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$

9本のはずれくじから1本を選ぶ組み合わせは $_{9}C_1$ 通りである。

$_{9}C_1 = \frac{9!}{1!(9-1)!} = \frac{9!}{1!8!} = 9$

したがって、当たりが2本、はずれが1本となる組み合わせの数は $3 \times 9 = 27$ 通りである。

ステップ3: 確率を計算する。

当たりが2本、はずれが1本である確率は、ステップ2で求めた事象の数をステップ1で求めた全事象の数で割ることによって求められる。

$P(\text{当たり2本、はずれ1本}) = \frac{\text{当たり2本、はずれ1本の組み合わせの数}}{\text{全事象の数}} = \frac{27}{220}$

3. 最終的な答え

当たりが2本、はずれが1本である確率は $\frac{27}{220}$ である。