## 問題の解答
以下に、問題の解答を示します。
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1. 問題の内容
1から5までの5つの数字をすべて使って5桁の整数を作るとき、偶数は全部で何個できるか。
2. 解き方の手順
5桁の整数が偶数になるためには、一の位が偶数である必要があります。1から5までの数字の中で偶数は2と4の2つです。
* 一の位が2の場合：残りの4つの数字（1, 3, 4, 5）を並べる方法は、4! = 24通りです。
* 一の位が4の場合：残りの4つの数字（1, 2, 3, 5）を並べる方法は、4! = 24通りです。
したがって、偶数の総数は24 + 24 = 48個です。
3. 最終的な答え
48
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1. 問題の内容
1から7までの7つの数字から異なる3つの数字を取り出して並べ、3桁の整数を作るとき、200から500の間の整数は全部で何個できるか。
2. 解き方の手順
3桁の整数が200から500の間になるためには、百の位が2, 3, 4のいずれかである必要があります。
* 百の位が2の場合：十の位と一の位には、残りの6つの数字から2つを選んで並べる必要があります。これは、6P2 = 6 * 5 = 30通りです。
* 百の位が3の場合：同様に、6P2 = 30通りです。
* 百の位が4の場合：同様に、6P2 = 30通りです。
したがって、200から500の間の整数の総数は、30 + 30 + 30 = 90個です。
3. 最終的な答え
90
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1. 問題の内容
7人を4人、2人、1人の3組に分ける方法は何通りあるか。
2. 解き方の手順
まず、7人から4人を選ぶ方法を考えます。これは 7C4 = 7! / (4! * 3!) = 35通りです。
次に、残りの3人から2人を選ぶ方法を考えます。これは 3C2 = 3! / (2! * 1!) = 3通りです。
最後に、残りの1人は自動的に1人の組に入ります。これは 1C1 = 1通りです。
したがって、7人を4人、2人、1人の3組に分ける方法は、35 * 3 * 1 = 105通りです。
3. 最終的な答え
105
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1. 問題の内容
男子3人、女子2人が一列に並ぶとき、女子が両端にくる並び方は全部で何通りあるか。
2. 解き方の手順
まず、両端に女子を配置する方法を考えます。2人の女子から両端に配置する2人を選ぶ方法は、2P2 = 2! = 2 通りです。
次に、残りの3人の男子を一列に並べる方法は、3! = 6 通りです。
したがって、女子が両端にくる並び方は、2 * 6 = 12 通りです。
3. 最終的な答え
12
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1. 問題の内容
1, 2, 3, 4, 5, 6 の 6つの数字を一列に並べるとき、1 の両隣りが 2 と 3 になるような並べ方は、全部で何通りあるか。
2. 解き方の手順
まず、2, 1, 3 の並び、または 3, 1, 2 の並びを一つの塊として考えます。
この塊と、残りの3つの数字 (4, 5, 6) を並べることになります。
並べ方は以下の2通りあります。
(a) 2, 1, 3 を一つの塊と見た場合：塊と4, 5, 6 の計4つを並べるので、4! = 24 通り。
(b) 3, 1, 2 を一つの塊と見た場合：同様に、4! = 24 通り。
したがって、1 の両隣りが 2 と 3 になるような並べ方は、24 + 24 = 48 通りです。
3. 最終的な答え
48
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1. 問題の内容
5つの文字 a, b, c, d, e を一列に並べるとき、a と b が隣り合わない並べ方は、全部で何通りあるか。
2. 解き方の手順
まず、5つの文字を自由に並べる並べ方 (すべての並べ方) を求めます。これは、5! = 120 通りです。
次に、a と b が隣り合う並べ方を求めます。a と b を一つの塊として考えます。
この塊と、残りの3つの文字 (c, d, e) を並べることになります。
並べ方は以下の手順で行います。
(a) a と b の塊を並べる：塊とc, d, e の計4つを並べるので、4! = 24 通り。
(b) a と b の塊の中で、a と b の並び順を入れ替える：a, b または b, a なので、2! = 2 通り。
したがって、a と b が隣り合う並べ方は、24 * 2 = 48 通りです。
a と b が隣り合わない並べ方は、すべての並べ方から隣り合う並べ方を引けば求まります。
120 - 48 = 72 通りです。
3. 最終的な答え
72