袋の中に赤球が2個、白球が4個入っている。この袋から一度に2個の球を取り出すとき、取り出した球に含まれる赤球の個数の確率分布を求め、期待値を計算する。まず、赤球の個数ごとの確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤球が2個、白球が4個入っている。この袋から一度に2個の球を取り出すとき、取り出した球に含まれる赤球の個数の確率分布を求め、期待値を計算する。まず、赤球の個数ごとの確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、全ての球の取り出し方の総数を計算する。これは6個から2個を選ぶ組み合わせなので、

$_{6}C_{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り

次に、赤球の個数ごとの確率を計算する。

* **赤球が0個の場合:** 2個とも白球を取り出す場合である。白球4個から2個を選ぶ組み合わせは、

$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

したがって、確率は $P(X=0) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ となる。

* **赤球が1個の場合:** 赤球1個と白球1個を取り出す場合である。赤球2個から1個を選ぶ組み合わせは $_{2}C_{1} = 2$ 通り、白球4個から1個を選ぶ組み合わせは $_{4}C_{1} = 4$ 通り。

したがって、確率は $P(X=1) = \frac{2 \times 4}{15} = \frac{8}{15}$ となる。

* **赤球が2個の場合:** 2個とも赤球を取り出す場合である。赤球2個から2個を選ぶ組み合わせは $_{2}C_{2} = 1$ 通り。

したがって、確率は $P(X=2) = \frac{1}{15}$ となる。

* **確率の合計:** 全ての確率の合計は1になるはずである。$\frac{2}{5} + \frac{8}{15} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} + \frac{8}{15} + \frac{1}{15} = \frac{15}{15} = 1$。

期待値$E(X)$は、各変数の値にその確率を掛けたものの合計なので、

$E(X) = 0 \times \frac{2}{5} + 1 \times \frac{8}{15} + 2 \times \frac{1}{15} = 0 + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8}{15}$

(2) $\frac{1}{15}$

(3) 1

期待値：$\frac{2}{3}$