袋の中に1から3の数字が書かれた白球が3個と、4から7の数字が書かれた赤球が4個入っている。この袋から球を1つ取り出すとき、白球が出る事象をA、奇数の球が出る事象をBとする。このとき、条件付き確率 $P_A(B)$ を求めよ。$P_A(B)$ は、白球が出たという条件のもとで、奇数の球が出る確率である。

1. 問題の内容

袋の中に1から3の数字が書かれた白球が3個と、4から7の数字が書かれた赤球が4個入っている。この袋から球を1つ取り出すとき、白球が出る事象をA、奇数の球が出る事象をBとする。このとき、条件付き確率 $P_A(B)$ を求めよ。$P_A(B)$ は、白球が出たという条件のもとで、奇数の球が出る確率である。

2. 解き方の手順

まず、事象A（白球が出る）が起こる確率を考える。白球は3個あり、全体の球は7個なので、$P(A) = \frac{3}{7}$となる。

次に、事象AとBが同時に起こる確率 $P(A \cap B)$ を考える。これは、白球でありかつ奇数の球が出る確率である。白球で奇数の球は1と3なので、2個存在する。したがって、$P(A \cap B) = \frac{2}{7}$となる。

条件付き確率の定義より、$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$である。

上記の確率を代入して、$P_A(B) = \frac{\frac{2}{7}}{\frac{3}{7}} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

ア：2

イ：3

$P_A(B) = \frac{2}{3}$