確率変数 $X$ が正規分布 $N(20, 25)$ に従うとき、以下の確率を標準正規分布表を用いて求める。 (1) $P(22 \le X \le 27)$ (2) $P(16 \le X \le 23)$

確率論・統計学正規分布確率標準化標準正規分布
2025/7/17
## 問題8

1. 問題の内容

確率変数 XX が正規分布 N(20,25)N(20, 25) に従うとき、以下の確率を標準正規分布表を用いて求める。
(1) P(22X27)P(22 \le X \le 27)
(2) P(16X23)P(16 \le X \le 23)

2. 解き方の手順

正規分布 N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2) に従う確率変数 XX を標準化するには、Z=XμσZ = \frac{X - \mu}{\sigma} を計算する。ここで、ZZ は標準正規分布 N(0,1)N(0, 1) に従う。
(1) P(22X27)P(22 \le X \le 27) を求める。
* X=22X = 22 のとき、Z=22205=25=0.4Z = \frac{22 - 20}{5} = \frac{2}{5} = 0.4
* X=27X = 27 のとき、Z=27205=75=1.4Z = \frac{27 - 20}{5} = \frac{7}{5} = 1.4
したがって、P(22X27)=P(0.4Z1.4)P(22 \le X \le 27) = P(0.4 \le Z \le 1.4) となる。
標準正規分布表を使って、P(0Z1.4)=0.4192P(0 \le Z \le 1.4) = 0.4192P(0Z0.4)=0.1554P(0 \le Z \le 0.4) = 0.1554 を求める。
P(0.4Z1.4)=P(0Z1.4)P(0Z0.4)=0.41920.1554=0.2638P(0.4 \le Z \le 1.4) = P(0 \le Z \le 1.4) - P(0 \le Z \le 0.4) = 0.4192 - 0.1554 = 0.2638
(2) P(16X23)P(16 \le X \le 23) を求める。
* X=16X = 16 のとき、Z=16205=45=0.8Z = \frac{16 - 20}{5} = \frac{-4}{5} = -0.8
* X=23X = 23 のとき、Z=23205=35=0.6Z = \frac{23 - 20}{5} = \frac{3}{5} = 0.6
したがって、P(16X23)=P(0.8Z0.6)P(16 \le X \le 23) = P(-0.8 \le Z \le 0.6) となる。
標準正規分布表を使って、P(0Z0.8)=0.2881P(0 \le Z \le 0.8) = 0.2881P(0Z0.6)=0.2257P(0 \le Z \le 0.6) = 0.2257 を求める。
P(0.8Z0.6)=P(0.8Z0)+P(0Z0.6)=P(0Z0.8)+P(0Z0.6)=0.2881+0.2257=0.5138P(-0.8 \le Z \le 0.6) = P(-0.8 \le Z \le 0) + P(0 \le Z \le 0.6) = P(0 \le Z \le 0.8) + P(0 \le Z \le 0.6) = 0.2881 + 0.2257 = 0.5138

3. 最終的な答え

(1) P(22X27)=0.2638P(22 \le X \le 27) = 0.2638
(2) P(16X23)=0.5138P(16 \le X \le 23) = 0.5138

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