箱の中に-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3と書かれた8個のボールが入っている。この箱から3個のボールを同時に取り出す。以下の確率を求めよ。 (1) 取り出した3個のボールに書かれた数字の和が3になる確率 (2) 取り出した3個のボールに書かれた数字の積が2で割り切れる確率 (3) 取り出した3個のボールに書かれた数字の積が負になる確率 (4) 取り出した3個のボールのうち、ちょうど2個のボールに負の数字が書かれている確率

1. 問題の内容

箱の中に-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3と書かれた8個のボールが入っている。この箱から3個のボールを同時に取り出す。以下の確率を求めよ。

(1) 取り出した3個のボールに書かれた数字の和が3になる確率

(2) 取り出した3個のボールに書かれた数字の積が2で割り切れる確率

(3) 取り出した3個のボールに書かれた数字の積が負になる確率

(4) 取り出した3個のボールのうち、ちょうど2個のボールに負の数字が書かれている確率

2. 解き方の手順

まず、8個のボールから3個のボールを取り出す場合の総数を求める。これは組み合わせで計算できる。

$_8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通り

(1) 和が3になる組み合わせを考える。

(-4, 0, 7) ダメ

(-4, 1, 6) ダメ

(-4, 2, 5) ダメ

(-4, 3, 4) ダメ

(-3, 0, 6) ダメ

(-3, 1, 5) ダメ

(-3, 2, 4) ダメ

(-3, 3, 3) ダメ

(-2, 0, 5) ダメ

(-2, 1, 4) ダメ

(-2, 2, 3)

(-1, 0, 4) ダメ

(-1, 1, 3)

(-1, 2, 2) ダメ

(0, 1, 2)

条件を満たす組み合わせは(-2, 2, 3), (-1, 1, 3), (0, 1, 2)の3通り。

したがって、確率は$\frac{3}{56}$

(2) 積が2で割り切れるのは、少なくとも1つ偶数が含まれる場合。

余事象を考える。つまり、3つとも奇数の場合を考える。

奇数は-3, -1, 1, 3の4つ。

$_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$通り

全体から奇数の場合を引いたものが、少なくとも1つ偶数が含まれる場合になる。

$56 - 4 = 52$通り

したがって、確率は$\frac{52}{56} = \frac{13}{14}$

(3) 積が負になるのは、奇数個の負の数を含む場合。つまり1個または3個。

1個の場合：負の数4つ、正または0の数4つ。

負の数1つ、正または0から2つ：$_4C_1 \times _4C_2 = 4 \times 6 = 24$

3個の場合：負の数3つ：$_4C_3 = 4$

したがって$24 + 4 = 28$

確率は$\frac{28}{56} = \frac{1}{2}$

(4) ちょうど2個負の数を含む場合：

負の数2つ、正または0の数1つ：$_4C_2 \times _4C_1 = 6 \times 4 = 24$

したがって確率は$\frac{24}{56} = \frac{3}{7}$

3. 最終的な答え

(1) 3/56

(2) 13/14

(3) 1/2

(4) 3/7