4種類のSOYJOY（ブルーベリー、アップル、アーモンド＆チョコレート、抹茶＆マカダミア）がそれぞれ同じ本数だけ箱に入っている。箱から無作為に2本のSOYJOYを取り出したとき、取り出した2本が同じ味である確率を $p$ とする。$p$ の値になり得ないものはどれか。

1. 問題の内容

4種類のSOYJOY（ブルーベリー、アップル、アーモンド＆チョコレート、抹茶＆マカダミア）がそれぞれ同じ本数だけ箱に入っている。箱から無作為に2本のSOYJOYを取り出したとき、取り出した2本が同じ味である確率を $p$ とする。$p$ の値になり得ないものはどれか。

2. 解き方の手順

各フレーバーの本数を $n$ とすると、箱の中には $4n$ 本のSOYJOYが入っている。

箱から2本のSOYJOYを取り出す組み合わせの総数は、

$_{4n}C_2 = \frac{(4n)(4n-1)}{2} = \frac{16n^2 - 4n}{2} = 8n^2 - 2n$ 通り。

2本が同じ味である組み合わせの数は、各フレーバーについて$_{n}C_2$を計算し、それを4倍すれば良い。

$_{n}C_2 = \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n^2-n}{2}$

よって、2本が同じ味である組み合わせの数は

$4 \times \frac{n(n-1)}{2} = 2n(n-1) = 2n^2 - 2n$ 通り。

したがって、2本が同じ味である確率 $p$ は、

$p = \frac{2n^2 - 2n}{8n^2 - 2n} = \frac{2n(n-1)}{2n(4n-1)} = \frac{n-1}{4n-1}$

$n=2$のとき、$p = \frac{2-1}{4(2)-1} = \frac{1}{7}$

$n=3$のとき、$p = \frac{3-1}{4(3)-1} = \frac{2}{11}$

$n=4$のとき、$p = \frac{4-1}{4(4)-1} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

$n=5$のとき、$p = \frac{5-1}{4(5)-1} = \frac{4}{19}$

$n=6$のとき、$p = \frac{6-1}{4(6)-1} = \frac{5}{23}$

$n=7$のとき、$p = \frac{7-1}{4(7)-1} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$

選択肢にある値と比較すると、

A: 1/5 ($n=4$)

B: 2/9 ($n=7$)

C: 4/15 (になり得ない)

D: 4/19 ($n=5$)

3. 最終的な答え

[C] 4/15