(1) 男子8人、女子9人の中から5人を選ぶとき、次の場合の数を求めます。 1. 特定の2人 A, B を必ず選ぶ 2. 男子2人、女子3人を選ぶ 3. 特定の男子 C と特定の女子 D を含めて、男子2人、女子3人を選ぶ 4. 少なくとも1人の男子を選ぶ (2) 大人6人、子供4人の中から4人を選ぶとき、次の場合の数を求めます。 1. 特定の2人 a, b がともに選ばれる 2. 大人2人、子供2人を選ぶ 3. 子供が少なくとも1人選ばれる 4. a は選ばれるが、b は選ばれない (3) 1から9までの番号を1つずつ書いた9枚のカードの中から4枚のカードを選ぶとき、次の場合の数を求めます。 1. 2枚は偶数、2枚は奇数を書いたカードである 2. 奇数を書いたカードが3枚以上になる 3. 取り出したカードの番号の積が偶数になる

1. 問題の内容

(1) 男子8人、女子9人の中から5人を選ぶとき、次の場合の数を求めます。

1. 特定の2人 A, B を必ず選ぶ

2. 男子2人、女子3人を選ぶ

3. 特定の男子 C と特定の女子 D を含めて、男子2人、女子3人を選ぶ

4. 少なくとも1人の男子を選ぶ

(2) 大人6人、子供4人の中から4人を選ぶとき、次の場合の数を求めます。

1. 特定の2人 a, b がともに選ばれる

2. 大人2人、子供2人を選ぶ

3. 子供が少なくとも1人選ばれる

4. a は選ばれるが、b は選ばれない

(3) 1から9までの番号を1つずつ書いた9枚のカードの中から4枚のカードを選ぶとき、次の場合の数を求めます。

1. 2枚は偶数、2枚は奇数を書いたカードである

2. 奇数を書いたカードが3枚以上になる

3. 取り出したカードの番号の積が偶数になる

2. 解き方の手順

(1)

1. A, B は必ず選ばれるので、残り3人を残りの15人（男子6人、女子9人）から選ぶ。

$_{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$ 通り

2. 男子2人を選ぶ方法は $_{8}C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ 通り

女子3人を選ぶ方法は $_{9}C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$ 通り

よって、選び方は $28 \times 84 = 2352$ 通り

3. C, D は必ず選ばれるので、残りの男子1人を選び、残りの女子2人を選ぶ。

残りの男子は7人なので、男子1人を選ぶ方法は $_{7}C_1 = 7$ 通り

残りの女子は8人なので、女子2人を選ぶ方法は $_{8}C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ 通り

よって、選び方は $7 \times 28 = 196$ 通り

4. 少なくとも1人の男子を選ぶ場合は、全体から女子のみを選ぶ場合を引く。

全体の選び方は $_{17}C_5 = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 17 \times 2 \times 1 \times 14 \times 13 = 6188$ 通り

女子のみを選ぶ選び方は $_{9}C_5 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126$ 通り

よって、選び方は $6188 - 126 = 6062$ 通り

(2)

1. a, b は必ず選ばれるので、残り2人を残りの8人（大人4人、子供4人）から選ぶ。

$_{8}C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ 通り

2. 大人2人を選ぶ方法は $_{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ 通り

子供2人を選ぶ方法は $_{4}C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ 通り

よって、選び方は $15 \times 6 = 90$ 通り

3. 少なくとも1人の子供を選ぶ場合は、全体から大人のみを選ぶ場合を引く。

全体の選び方は $_{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$ 通り

大人のみを選ぶ選び方は $_{6}C_4 = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ 通り

よって、選び方は $210 - 15 = 195$ 通り

4. a は選ばれるが、b は選ばれないので、残り3人を残りの8人から選ぶ。

$_{8}C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$ 通り

(3)

1. 偶数は4枚 (2, 4, 6, 8)、奇数は5枚 (1, 3, 5, 7, 9)

偶数2枚を選ぶ方法は $_{4}C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ 通り

奇数2枚を選ぶ方法は $_{5}C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通り

よって、選び方は $6 \times 10 = 60$ 通り

2. 奇数が3枚の場合: 奇数3枚、偶数1枚を選ぶ

奇数3枚を選ぶ方法は $_{5}C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ 通り

偶数1枚を選ぶ方法は $_{4}C_1 = 4$ 通り

よって、選び方は $10 \times 4 = 40$ 通り

奇数が4枚の場合: 奇数4枚を選ぶ

奇数4枚を選ぶ方法は $_{5}C_4 = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5$ 通り

よって、選び方は $40 + 5 = 45$ 通り

3. 積が偶数になるのは、少なくとも1枚偶数が含まれる場合。全体から奇数のみを選ぶ場合を引く。

全体の選び方は $_{9}C_4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126$ 通り

奇数のみを選ぶ選び方は $_{5}C_4 = 5$ 通り

よって、選び方は $126 - 5 = 121$ 通り

3. 最終的な答え

(1)

1. 455通り

2. 2352通り

3. 196通り

4. 6062通り

(2)

1. 28通り

2. 90通り

3. 195通り

4. 56通り

(3)

1. 60通り

2. 45通り

3. 121通り