確率変数 $T$ が標準正規分布 $N(0, 1)$ に従い、確率変数 $X$ が正規分布 $N(2, 4)$ に従うとき、$P(-1 \le X \le 3)$ を求める問題です。ここで、$N(2, 4)$ は平均が 2、分散が 4（標準偏差が 2）の正規分布を表します。

1. 問題の内容

確率変数 $T$ が標準正規分布 $N(0, 1)$ に従い、確率変数 $X$ が正規分布 $N(2, 4)$ に従うとき、$P(-1 \le X \le 3)$ を求める問題です。ここで、$N(2, 4)$ は平均が 2、分散が 4（標準偏差が 2）の正規分布を表します。

2. 解き方の手順

まず、$X$ を標準化します。標準化とは、平均を 0、標準偏差を 1 に変換することです。

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ という変換を行います。ここで、$\mu$ は平均、$\sigma$ は標準偏差です。

この問題では $\mu = 2$、$\sigma = \sqrt{4} = 2$ なので、$Z = \frac{X - 2}{2}$ となります。

次に、$P(-1 \le X \le 3)$ を $Z$ を用いて表します。

$X = -1$ のとき、$Z = \frac{-1 - 2}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5$

$X = 3$ のとき、$Z = \frac{3 - 2}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$

したがって、$P(-1 \le X \le 3) = P(-1.5 \le Z \le 0.5)$ となります。

$P(-1.5 \le Z \le 0.5)$ は、標準正規分布の累積分布関数 $\Phi(z)$ を用いて、$\Phi(0.5) - \Phi(-1.5)$ と表せます。

$\Phi(-1.5) = 1 - \Phi(1.5)$ であることを利用して、$\Phi(0.5) - (1 - \Phi(1.5)) = \Phi(0.5) + \Phi(1.5) - 1$ と計算します。

標準正規分布表から $\Phi(0.5) \approx 0.6915$、$\Phi(1.5) \approx 0.9332$ を読み取ります。

したがって、$P(-1.5 \le Z \le 0.5) \approx 0.6915 + 0.9332 - 1 = 1.6247 - 1 = 0.6247$

3. 最終的な答え

$P(-1 \le X \le 3) \approx 0.6247$