$X_1$ と $X_2$ がそれぞれパラメータ $p_1$ と $p_2$ の幾何分布に従う独立な確率変数であるとき、$X_1$ と $X_2$ の最小値 $Z$ の分布を求める。ただし、$P(X_j > k) = (1 - p_j)^k$ ($k = 1, 2, \dots$, $j = 1, 2$)が与えられている。

1. 問題の内容

$X_1$ と $X_2$ がそれぞれパラメータ $p_1$ と $p_2$ の幾何分布に従う独立な確率変数であるとき、$X_1$ と $X_2$ の最小値 $Z$ の分布を求める。ただし、$P(X_j > k) = (1 - p_j)^k$ ($k = 1, 2, \dots$, $j = 1, 2$)が与えられている。

2. 解き方の手順

$Z = \min(X_1, X_2)$ の分布を求める。まず、$Z > k$ となる確率を考える。$Z > k$ であることは、$X_1 > k$ かつ $X_2 > k$ であることと同値である。$X_1$ と $X_2$ は独立なので、

$P(Z > k) = P(X_1 > k \cap X_2 > k) = P(X_1 > k)P(X_2 > k)$.

与えられた条件から、$P(X_1 > k) = (1 - p_1)^k$ および $P(X_2 > k) = (1 - p_2)^k$ であるので、

$P(Z > k) = (1 - p_1)^k (1 - p_2)^k = ((1 - p_1)(1 - p_2))^k$.

ここで、$q = (1 - p_1)(1 - p_2)$ とおくと、$P(Z > k) = q^k$ となる。

$P(Z = k) = P(Z > k-1) - P(Z > k)$ を用いて、$P(Z = k)$ を求める。

$P(Z = k) = q^{k-1} - q^k = q^{k-1}(1 - q)$.

$q = (1 - p_1)(1 - p_2)$ を代入すると、

$P(Z = k) = ((1 - p_1)(1 - p_2))^{k-1} (1 - (1 - p_1)(1 - p_2))$.

$P(Z = k) = ((1 - p_1)(1 - p_2))^{k-1} (1 - (1 - p_1 - p_2 + p_1p_2)) = ((1 - p_1)(1 - p_2))^{k-1} (p_1 + p_2 - p_1p_2)$.

3. 最終的な答え

$Z$ の分布は、

$P(Z = k) = ((1 - p_1)(1 - p_2))^{k-1} (p_1 + p_2 - p_1p_2)$

となる。これはパラメータ $p = p_1 + p_2 - p_1 p_2$ を持つ幾何分布である。