(1) 大中小3個のサイコロを投げるとき、目の和が7になる場合の数を求める。 (2) 6個の異なる色の玉を1列に並べる場合の数、円形に並べる場合の数、6個から4個を選び1列に並べる場合の数、円形に並べる場合の数を求める。 (3) 1年生3人と2年生5人の中から3人の代表を選ぶ場合の数と、1年生1人と2年生2人を選ぶ場合の数を求める。 (4) 赤球3個と白球4個が入っている袋から同時に2個の球を取り出すとき、2個とも白球である確率と、赤球と白球が1個ずつである確率を求める。 (5) 1から18までの番号が書かれた18枚のカードから1枚を取り出すとき、そのカードの番号が偶数であることがわかっているとき、その番号が3の倍数である条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

(1) 大中小3個のサイコロを投げるとき、目の和が7になる場合の数を求める。

(2) 6個の異なる色の玉を1列に並べる場合の数、円形に並べる場合の数、6個から4個を選び1列に並べる場合の数、円形に並べる場合の数を求める。

(3) 1年生3人と2年生5人の中から3人の代表を選ぶ場合の数と、1年生1人と2年生2人を選ぶ場合の数を求める。

(4) 赤球3個と白球4個が入っている袋から同時に2個の球を取り出すとき、2個とも白球である確率と、赤球と白球が1個ずつである確率を求める。

(5) 1から18までの番号が書かれた18枚のカードから1枚を取り出すとき、そのカードの番号が偶数であることがわかっているとき、その番号が3の倍数である条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 大中小のサイコロの目をそれぞれ$x, y, z$とすると、$x+y+z=7$となるような$(x, y, z)$の組み合わせを考える。ただし、$1 \leq x, y, z \leq 6$である。

(2)

* 6個の玉を1列に並べる場合の数は、単純な順列なので、$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$通り。

* 6個の玉を円形に並べる場合の数は、回転して同じになるものを同一とみなすので、$(6-1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$通り。

* 6個の玉から4個を選び1列に並べる場合の数は、順列なので、$_6P_4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$通り。

* 6個の玉から4個を選び円形に並べる場合の数は、まず1列に並べる場合の数を求め、それを4で割る（回転対称性による重複を除く）。ただし、円順列として単純に計算できるわけではないので注意。$_6C_4 \times (4-1)!$ではない. まず４つを取り出し並べる。異なる並べ方は$_6P_4 = 360$通り。それを４で割ると360/4=90

(3)

* 3人の代表を選ぶ場合の数は、$_8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通り。

* 1年生1人を選び、2年生2人を選ぶ場合の数は、$_3C_1 \times _5C_2 = 3 \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 3 \times 10 = 30$通り。

(4)

* 2個とも白球である確率は、$\frac{_4C_2}{_7C_2} = \frac{\frac{4 \times 3}{2 \times 1}}{\frac{7 \times 6}{2 \times 1}} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$

* 赤球と白球が1個ずつである確率は、$\frac{_3C_1 \times _4C_1}{_7C_2} = \frac{3 \times 4}{21} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$

(5)

* 1から18までの偶数は9個ある。そのうち3の倍数であるものは6, 12, 18の3個である。

* したがって、求める条件付き確率は、$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 15

(2) ウエオ：720, カキク：120, ケコサ：360, シス：90

(3) セソ：56, タチ：30

(4) ツ：2/7, テ：4/7

(5) ヌ：1/3