円周を4等分する点をA, B, C, Dとし、Aを出発点とする。サイコロを振り、偶数の目が出たら2、奇数の目が出たら1だけ小石を時計回りに進める。最初にAに戻ったとき上がりとする。 (1) ちょうど1周して上がる確率を求める。 (2) ちょうど2周して上がる確率を求める。

1. 問題の内容

円周を4等分する点をA, B, C, Dとし、Aを出発点とする。サイコロを振り、偶数の目が出たら2、奇数の目が出たら1だけ小石を時計回りに進める。最初にAに戻ったとき上がりとする。

(1) ちょうど1周して上がる確率を求める。

(2) ちょうど2周して上がる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 1周ということは、4進むということである。

4進むには、偶数の目が$x$回、奇数の目が$y$回出たとき、$2x + y = 4$となる。

可能な組み合わせは、

* $x=2, y=0$：偶数2回

* $x=1, y=2$：偶数1回、奇数2回

* $x=0, y=4$：奇数4回

である。

サイコロの目は偶数が3つ、奇数が3つなので、偶数が出る確率は$1/2$、奇数が出る確率は$1/2$である。

* 偶数2回の場合の確率は、$(1/2)^2 = 1/4$

* 偶数1回、奇数2回の場合の確率は、${}_3C_1(1/2)(1/2)^2 = 3/8$

* 奇数4回の場合の確率は、$(1/2)^4 = 1/16$

したがって、求める確率は$1/4 + 3/8 + 1/16 = 4/16 + 6/16 + 1/16 = 11/16$

(2) 2周ということは、8進むということである。

8進むには、偶数の目が$x$回、奇数の目が$y$回出たとき、$2x + y = 8$となる。

可能な組み合わせは、

* $x=4, y=0$：偶数4回

* $x=3, y=2$：偶数3回、奇数2回

* $x=2, y=4$：偶数2回、奇数4回

* $x=1, y=6$：偶数1回、奇数6回

* $x=0, y=8$：奇数8回

である。

ただし、途中でAに戻ってはいけないので、1周目の結果はA,B,C,Dいずれかでなければならない。

まず1周目までの動きを考える。

1周目にBに到達する場合、1周目にCに到達する場合、1周目にDに到達する場合を考える。

1周目に戻ってきてしまうパターンを除外する。

* 偶数4回の場合の確率は、$(1/2)^4 = 1/16$

* 偶数3回、奇数2回の場合の確率は、${}_5C_3(1/2)^3(1/2)^2 = 10/32 = 5/16$

* 偶数2回、奇数4回の場合の確率は、${}_6C_2(1/2)^2(1/2)^4 = 15/64$

* 偶数1回、奇数6回の場合の確率は、${}_7C_1(1/2)^1(1/2)^6 = 7/128$

* 奇数8回の場合の確率は、$(1/2)^8 = 1/256$

1周目に戻ってきてしまう確率は、$11/16$であった。

したがって、2周して戻ってくる確率は、$1 - 11/16 = 5/16$

まず1回目に1進んで、残り7進む。

1回目に2進んで、残り6進む。

1回目に3進んで、残り5進む。

最初の1回の試行で場合分けをする。

(1) 最初が奇数の場合（確率1/2）：このとき、残りは3進めば良い。3進む確率は、偶奇の組み合わせは(1回偶数,1回奇数)または(3回奇数)であり、確率は${}_2C_1(1/2)^2+(1/2)^3=3/8$。

(2) 最初が偶数の場合（確率1/2）：このとき、残りは2進めば良い。2進む確率は、(1回偶数)または(2回奇数)であり、確率は(1/2)+(1/2)^2=3/4。ただし、このゲームは、Aにたどり着いたら終わりなので、途中で4の倍数になってはいけない。

したがって、ちょうど2周して上がる確率は、$1/2 * 3/8 + 1/2 * 3/4 = 3/16 + 3/8 = 3/16 + 6/16 = 9/16$

3. 最終的な答え

(1) 11/16

(2) 9/16