80個のデータがあり、そのうち20個の平均値が16、分散が24です。残りの60個の平均値は12、分散は28です。このデータ全体の平均値と分散を求めます。

確率論・統計学平均値分散データ分析統計
2025/7/17

1. 問題の内容

80個のデータがあり、そのうち20個の平均値が16、分散が24です。残りの60個の平均値は12、分散は28です。このデータ全体の平均値と分散を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 全体の平均値を求める。
全体の平均値は、各グループの平均値にそれぞれの個数の割合をかけたものの和で計算できます。
全体の個数は80個で、20個のグループと60個のグループがあります。
全体の平均値 = (20/80)×16+(60/80)×12(20/80) \times 16 + (60/80) \times 12
全体の平均値 = (1/4)×16+(3/4)×12(1/4) \times 16 + (3/4) \times 12
全体の平均値 = 4+9=134 + 9 = 13
(2) 全体の分散を求める。
全体の分散を計算するためには、まず各グループの偏差の二乗の平均を計算し、次にそれらを合計する必要があります。分散の公式は以下の通りです。
分散=i=1n(xi平均)2n分散 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - 平均)^2}{n}
または、分散=(二乗の平均)(平均の二乗)分散 = (二乗の平均) - (平均の二乗)
全体の分散を計算するためには、以下の式を使用します。
全体の分散=n1(1+(1全体平均)2)+n2(2+(2全体平均)2)n1+n2全体の分散 = \frac{n_1(分散_1 + (平均_1 - 全体平均)^2) + n_2(分散_2 + (平均_2 - 全体平均)^2)}{n_1 + n_2}
ここで、n1=20n_1 = 20, 1=24分散_1 = 24, 1=16平均_1 = 16, n2=60n_2 = 60, 2=28分散_2 = 28, 2=12平均_2 = 12, 全体平均 = 13
全体の分散=20(24+(1613)2)+60(28+(1213)2)80全体の分散 = \frac{20(24 + (16 - 13)^2) + 60(28 + (12 - 13)^2)}{80}
全体の分散=20(24+9)+60(28+1)80全体の分散 = \frac{20(24 + 9) + 60(28 + 1)}{80}
全体の分散=20(33)+60(29)80全体の分散 = \frac{20(33) + 60(29)}{80}
全体の分散=660+174080全体の分散 = \frac{660 + 1740}{80}
全体の分散=240080=30全体の分散 = \frac{2400}{80} = 30

3. 最終的な答え

全体の平均値は13です。
全体の分散は30です。

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