80個のデータがあり、そのうち20個のデータの平均は16、分散は24。残りの60個のデータの平均は12、分散は28である。この80個のデータ全体の平均と分散を求めよ。

1. 問題の内容

80個のデータがあり、そのうち20個のデータの平均は16、分散は24。残りの60個のデータの平均は12、分散は28である。この80個のデータ全体の平均と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、全体の平均を計算する。

20個のデータの合計は $20 \times 16 = 320$

60個のデータの合計は $60 \times 12 = 720$

80個のデータの合計は $320 + 720 = 1040$

全体の平均は $1040 / 80 = 13$

次に、全体の分散を計算する。

分散の公式は $V = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 - \mu^2$ （$V$は分散、$n$はデータ数、$x_i$は各データ、$\mu$は平均）

したがって、$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 = V + \mu^2$

20個のデータについて:

平均の2乗は $16^2 = 256$

$\frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} x_i^2 = 24 + 256 = 280$

$\sum_{i=1}^{20} x_i^2 = 20 \times 280 = 5600$

60個のデータについて:

平均の2乗は $12^2 = 144$

$\frac{1}{60} \sum_{i=1}^{60} x_i^2 = 28 + 144 = 172$

$\sum_{i=1}^{60} x_i^2 = 60 \times 172 = 10320$

80個のデータ全体について:

$\sum_{i=1}^{80} x_i^2 = 5600 + 10320 = 15920$

$\frac{1}{80} \sum_{i=1}^{80} x_i^2 = 15920 / 80 = 199$

全体の平均の2乗は $13^2 = 169$

全体の分散は $199 - 169 = 30$

3. 最終的な答え

平均値: 13

分散: 30