箱Aには赤玉4個、白玉2個、箱Bには赤玉1個、白玉3個が入っている。 (1) 箱Aから球を1個取り出し、それを箱Bに入れた後、箱Bから球を1個取り出すとき、それが赤玉である確率を求めよ。 (2) 箱Aから球を1個取り出し、それを箱Bに入れた後、箱Bから球を1個取り出し、それを箱Aに入れる。このとき、箱Aの赤玉の個数が最初と変わらない確率を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

箱Aには赤玉4個、白玉2個、箱Bには赤玉1個、白玉3個が入っている。

(1) 箱Aから球を1個取り出し、それを箱Bに入れた後、箱Bから球を1個取り出すとき、それが赤玉である確率を求めよ。

(2) 箱Aから球を1個取り出し、それを箱Bに入れた後、箱Bから球を1個取り出し、それを箱Aに入れる。このとき、箱Aの赤玉の個数が最初と変わらない確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

箱Aから球を取り出す事象を$A$、箱Bから球を取り出す事象を$B$とします。箱Bから取り出した球が赤玉であるという事象を$R$とします。求める確率は$P(R)$です。箱Aから赤玉を取り出す事象を$R_A$、箱Aから白玉を取り出す事象を$W_A$とします。

$P(R) = P(R|R_A)P(R_A) + P(R|W_A)P(W_A)$

$P(R_A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$P(W_A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$P(R|R_A) = \frac{2}{5}$

$P(R|W_A) = \frac{1}{5}$

したがって、

$P(R) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{15} + \frac{1}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

(2)

箱Aの赤玉の個数が変わらないのは、

i) 箱Aから赤玉を取り出し、箱Bから赤玉を取り出す。

ii) 箱Aから白玉を取り出し、箱Bから白玉を取り出す。

という2つのケースです。

i) 箱Aから赤玉を取り出し、箱Bから赤玉を取り出す確率を$P_1$とする。

$P_1 = \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$

ii) 箱Aから白玉を取り出し、箱Bから白玉を取り出す確率を$P_2$とする。

$P_2 = \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{15}$

したがって、箱Aの赤玉の個数が最初と変わらない確率は$P_1 + P_2$です。

$P_1 + P_2 = \frac{4}{15} + \frac{4}{15} = \frac{8}{15}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}$

(2) $\frac{8}{15}$