20個の品物の中に3個の不良品が入っている。この中から同時に2個取り出すとき、取り出した2個の中に含まれる不良品の個数の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

20個の品物の中に3個の不良品が入っている。この中から同時に2個取り出すとき、取り出した2個の中に含まれる不良品の個数の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

不良品の個数の期待値を求める。取り出した2個の中に含まれる不良品の個数は0個、1個、2個のいずれかである。それぞれの確率を計算し、期待値を計算する。

- 不良品が0個である確率:

20個の品物から2個を取り出す場合の数は $_{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190$。

良品は17個なので、2個とも良品である場合の数は $_{17}C_2 = \frac{17 \times 16}{2 \times 1} = 136$。

したがって、不良品が0個である確率は $\frac{136}{190} = \frac{68}{95}$。

- 不良品が1個である確率:

不良品が1個、良品が1個である場合の数は $_{3}C_1 \times _{17}C_1 = 3 \times 17 = 51$。

したがって、不良品が1個である確率は $\frac{51}{190}$。

- 不良品が2個である確率:

不良品が2個である場合の数は $_{3}C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$。

したがって、不良品が2個である確率は $\frac{3}{190}$。

期待値は、各個数にその確率を掛けたものの和で求められる。

$E = 0 \times \frac{136}{190} + 1 \times \frac{51}{190} + 2 \times \frac{3}{190} = \frac{51}{190} + \frac{6}{190} = \frac{57}{190} = \frac{3 \times 19}{10 \times 19} = \frac{3}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{10}$