男子4人、女子3人がいる。 (1) 7人が1列に並ぶとき、女子3人が続けて並ぶ確率を求める。 (2) 7人が手をつないで輪を作るとき、女子どうしが隣り合わない確率を求める。

1. 問題の内容

男子4人、女子3人がいる。

(1) 7人が1列に並ぶとき、女子3人が続けて並ぶ確率を求める。

(2) 7人が手をつないで輪を作るとき、女子どうしが隣り合わない確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 7人が1列に並ぶとき、女子3人が続けて並ぶ確率

* 7人が1列に並ぶ並び方は、全部で $7!$ 通り。

* 女子3人をひとまとめにして考えると、男子4人と合わせて5つのものを並べることになるので、並べ方は $5!$ 通り。

* さらに、女子3人の並び方は $3!$ 通り。

* したがって、女子3人が続けて並ぶ並び方は $5! \times 3!$ 通り。

* 求める確率は、 $\frac{5! \times 3!}{7!} = \frac{5! \times 3!}{7 \times 6 \times 5!} = \frac{3!}{7 \times 6} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}$ 。

(2) 7人が手をつないで輪を作るとき、女子どうしが隣り合わない確率

* 7人が輪になる並び方は $(7-1)! = 6!$ 通り。ただし、回転して同じになる並び方は同じとみなす。

* まず、男子4人を輪に並べる。並び方は $(4-1)! = 3!$ 通り。

* 男子4人の間に女子3人を並べる。4つの場所から3つ選んで並べる並べ方は $P(4,3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ 通り。

* したがって、女子どうしが隣り合わない並び方は $3! \times P(4,3) = 6 \times 24 = 144$ 通り。

* 求める確率は、$\frac{3! \times P(4,3)}{6!} = \frac{144}{720} = \frac{1}{5}$ 。

3. 最終的な答え

(1) 7人が1列に並ぶとき、女子3人が続けて並ぶ確率は $\frac{1}{7}$ 。

(2) 7人が手をつないで輪を作るとき、女子どうしが隣り合わない確率は $\frac{1}{5}$ 。