袋Aには赤球4個と白球2個、袋Bには赤球3個と白球3個が入っている。それぞれの袋から2個ずつ球を取り出すとき、取り出された4個の球のうち少なくとも1個が赤球である確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋Aには赤球4個と白球2個、袋Bには赤球3個と白球3個が入っている。それぞれの袋から2個ずつ球を取り出すとき、取り出された4個の球のうち少なくとも1個が赤球である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

「少なくとも1個が赤球」である確率を求める問題なので、余事象である「4個全てが白球である」確率を求めて、1から引くことで求めます。

袋Aから2個の球を取り出すとき、取り出し方は全部で ${}_6 C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りあります。そのうち、2個とも白球である取り出し方は ${}_2 C_2 = 1$ 通りです。

よって、袋Aから2個とも白球を取り出す確率は $P(A) = \frac{1}{15}$ です。

袋Bから2個の球を取り出すとき、取り出し方は全部で ${}_6 C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りあります。そのうち、2個とも白球である取り出し方は ${}_3 C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通りです。

よって、袋Bから2個とも白球を取り出す確率は $P(B) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$ です。

4個全てが白球である確率は、袋Aと袋Bからそれぞれ2個とも白球を取り出す確率の積なので、

$P(\text{全て白球}) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{15} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{75}$ です。

したがって、少なくとも1個が赤球である確率は、

$1 - P(\text{全て白球}) = 1 - \frac{1}{75} = \frac{75 - 1}{75} = \frac{74}{75}$ となります。

3. 最終的な答え

74/75