神大生の交際費（飲み会）の月平均回数 $\mu$ を知りたい。10名をランダムに選びデータを集めたところ、標本平均 $\bar{x}=12.8$、標本分散 $s^2=18.4$ を得た。$\mu$ の95%信頼区間を求めよ。ただし、各サンプルは同一の正規分布に従うとする。

1. 問題の内容

神大生の交際費（飲み会）の月平均回数 $\mu$ を知りたい。10名をランダムに選びデータを集めたところ、標本平均 $\bar{x}=12.8$、標本分散 $s^2=18.4$ を得た。$\mu$ の95%信頼区間を求めよ。ただし、各サンプルは同一の正規分布に従うとする。

2. 解き方の手順

母分散が未知であるため、$t$分布を用いる。

まず、自由度を計算する。自由度 $v = n - 1$ であり、$n = 10$ なので、$v = 10 - 1 = 9$ となる。

次に、信頼係数を求める。95%信頼区間なので、有意水準 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ となり、$\alpha/2 = 0.025$。

$t$分布表から、自由度9、有意水準0.025に対応する$t$値を求める。$t_{0.025}(9) = 2.262$

信頼区間は、

$$\bar{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$

で与えられる。

$\bar{x} = 12.8$, $t_{0.025}(9) = 2.262$, $s^2 = 18.4$ より、$s = \sqrt{18.4} \approx 4.29$、 $n = 10$ であるから、

$$12.8 \pm 2.262 \cdot \frac{\sqrt{18.4}}{\sqrt{10}}$$

$$12.8 \pm 2.262 \cdot \frac{4.29}{3.162}$$

$$12.8 \pm 2.262 \cdot 1.357$$

$$12.8 \pm 3.07$$

したがって、信頼区間は

$$(12.8 - 3.07, 12.8 + 3.07) = (9.73, 15.87)$$

3. 最終的な答え

95%信頼区間は (9.73, 15.87) である。