神大生の交際費（飲み会）の月平均回数 $\mu$ （回）を知りたい。10名をランダムに選びデータを集めたところ、標本平均値 $\bar{x} = 12.8$（回）、標本分散 $s^2 = 18.4$ を得た。このとき、$\mu$ の 95%信頼区間を求める。ただし、各サンプルは同一の正規分布に従うとする。

1. 問題の内容

神大生の交際費（飲み会）の月平均回数 $\mu$ （回）を知りたい。10名をランダムに選びデータを集めたところ、標本平均値 $\bar{x} = 12.8$（回）、標本分散 $s^2 = 18.4$ を得た。このとき、$\mu$ の 95%信頼区間を求める。ただし、各サンプルは同一の正規分布に従うとする。

2. 解き方の手順

母分散が未知であるため、t分布を用いて信頼区間を計算する。

信頼区間は、次の式で表される。

$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \sqrt{\frac{s^2}{n}}$

ここで、

$\bar{x}$は標本平均、

$t_{\alpha/2, n-1}$ は自由度 $n-1$ の t 分布における $\alpha/2$ のパーセント点、

$s^2$ は標本分散、

$n$ はサンプルサイズである。

今回の問題では、

$\bar{x} = 12.8$

$s^2 = 18.4$

$n = 10$

信頼水準は 95% なので、$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。したがって、$\alpha/2 = 0.025$

自由度は $n-1 = 10-1 = 9$

$t_{0.025, 9}$ を t 分布表から求めると、2.262 である。

信頼区間の幅を計算する。

$t_{\alpha/2, n-1} \sqrt{\frac{s^2}{n}} = 2.262 \sqrt{\frac{18.4}{10}} = 2.262 \sqrt{1.84} \approx 2.262 \times 1.356 \approx 3.067$

信頼区間は、

$12.8 \pm 3.067$

3. 最終的な答え

$\mu$ の 95%信頼区間は、$(12.8 - 3.067, 12.8 + 3.067) = (9.733, 15.867)$

したがって、95%信頼区間は (9.73, 15.87) である。