袋の中に赤球7個、白球4個、黒球3個が入っている。この袋から同時に6個の球を取り出すとき、赤球が3個、白球が2個、黒球が1個取り出される確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤球7個、白球4個、黒球3個が入っている。この袋から同時に6個の球を取り出すとき、赤球が3個、白球が2個、黒球が1個取り出される確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、袋に入っている球の合計数は、$7 + 4 + 3 = 14$ 個である。

次に、14個の球から6個の球を取り出す場合の総数を計算する。これは組み合わせで求められ、$_{14}C_6$ と表される。

$_{14}C_6 = \frac{14!}{6!(14-6)!} = \frac{14!}{6!8!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$ 通り

次に、赤球3個、白球2個、黒球1個を取り出す場合の数を計算する。

赤球3個を取り出す場合の数は、$_{7}C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り

白球2個を取り出す場合の数は、$_{4}C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り

黒球1個を取り出す場合の数は、$_{3}C_1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3}{1} = 3$ 通り

したがって、赤球3個、白球2個、黒球1個を取り出す場合の数は、$35 \times 6 \times 3 = 630$ 通り

求める確率は、$\frac{\text{赤球3個、白球2個、黒球1個を取り出す場合の数}}{\text{14個の球から6個の球を取り出す場合の総数}}$ であり、

$\frac{630}{3003} = \frac{30 \times 21}{143 \times 21} = \frac{30}{143}$

3. 最終的な答え

$\frac{30}{143}$