袋の中に異なる番号のついた赤玉が8個、白玉が7個入っている。この袋から6個の玉を同時に取り出すとき、次の問いに答えよ。 (1) 赤玉4個、白玉2個を取り出す場合の数を求めよ。 (2) 少なくとも1個は白玉を取り出す場合の数を求めよ。 (3) 特定の2つの玉a, bをともに取り出す場合の数を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に異なる番号のついた赤玉が8個、白玉が7個入っている。この袋から6個の玉を同時に取り出すとき、次の問いに答えよ。

(1) 赤玉4個、白玉2個を取り出す場合の数を求めよ。

(2) 少なくとも1個は白玉を取り出す場合の数を求めよ。

(3) 特定の2つの玉a, bをともに取り出す場合の数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 赤玉4個、白玉2個を取り出す場合

赤玉8個から4個を選ぶ組み合わせの数は $_8C_4$。

白玉7個から2個を選ぶ組み合わせの数は $_7C_2$。

よって、求める場合の数は、積の法則より

$_8C_4 \times _7C_2$

$_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8\times7\times6\times5}{4\times3\times2\times1} = 70$

$_7C_2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7\times6}{2\times1} = 21$

$_8C_4 \times _7C_2 = 70 \times 21 = 1470$

(2) 少なくとも1個は白玉を取り出す場合

すべての玉の取り出し方から、白玉を全く取り出さない場合（すべて赤玉を取り出す場合）を引けばよい。

すべての玉の取り出し方は、15個から6個を選ぶので、$_{15}C_6$。

$_{15}C_6 = \frac{15!}{6!9!} = \frac{15\times14\times13\times12\times11\times10}{6\times5\times4\times3\times2\times1} = 5005$

すべて赤玉を取り出す場合は、8個の赤玉から6個を選ぶので、$_8C_6$。

$_8C_6 = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8\times7}{2\times1} = 28$

よって、求める場合の数は、

$_{15}C_6 - _8C_6 = 5005 - 28 = 4977$

(3) 特定の2つの玉a, bをともに取り出す場合

玉a, bが赤玉の場合、白玉の場合、赤玉と白玉の場合があるが、ここでは区別しない。

すでに2つの玉が決まっているので、残りの4個を13個（15個-2個）から選ぶことになる。

$_ {13}C_4 = \frac{13!}{4!9!} = \frac{13\times12\times11\times10}{4\times3\times2\times1} = 715$

3. 最終的な答え

(1) 1470通り

(2) 4977通り

(3) 715通り