大小中小の3つのサイコロを投げるとき、次の条件を満たす場合は何通りあるか。 (1) 目の積が偶数になる。 (2) 目の積が20になる。 (3) 大中小のサイコロの目をそれぞれ $a, b, c$ とするとき、$a \le b < c$ となる。

1. 問題の内容

大小中小の3つのサイコロを投げるとき、次の条件を満たす場合は何通りあるか。

(1) 目の積が偶数になる。

(2) 目の積が20になる。

(3) 大中小のサイコロの目をそれぞれ $a, b, c$ とするとき、$a \le b < c$ となる。

2. 解き方の手順

(1) 目の積が偶数になる場合

目の積が偶数になるのは、少なくとも1つのサイコロの目が偶数である場合です。

全てのサイコロの目が奇数である場合を全体から引くことで求めます。

全体の目の出方は $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通りです。

全ての目が奇数になるのは $3 \times 3 \times 3 = 27$ 通りです。

したがって、目の積が偶数になるのは $216 - 27 = 189$ 通りです。

(2) 目の積が20になる場合

$abc = 20$ となる組み合わせを考えます。20を素因数分解すると $20 = 2 \times 2 \times 5$ です。

サイコロの目は1から6なので、ありうる組み合わせは以下の通りです。

- (1, 4, 5) この組み合わせの順列は $3! = 6$ 通りです。

- (2, 2, 5) この組み合わせの順列は $\frac{3!}{2!} = 3$ 通りです。

したがって、目の積が20になるのは $6 + 3 = 9$ 通りです。

(3) $a \le b < c$ となる場合

$a, b, c$ は1から6の整数です。

$a \le b < c$ を満たす組み合わせを数えます。

まず、$1 \le a \le b \le 6$ となる $a, b$ の組を考えます。

- $a = 1$ のとき、$1 \le b \le 6$ なので $b = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ の6通り

- $a = 2$ のとき、$2 \le b \le 6$ なので $b = 2, 3, 4, 5, 6$ の5通り

- $a = 3$ のとき、$3 \le b \le 6$ なので $b = 3, 4, 5, 6$ の4通り

- $a = 4$ のとき、$4 \le b \le 6$ なので $b = 4, 5, 6$ の3通り

- $a = 5$ のとき、$5 \le b \le 6$ なので $b = 5, 6$ の2通り

- $a = 6$ のとき、$b = 6$ の1通り

したがって、$a \le b$ となる組は $6+5+4+3+2+1 = 21$ 通りです。

次に、$b < c \le 6$ を満たす $c$ の個数を考えます。

- $b = 1$ のとき、$c = 2, 3, 4, 5, 6$ の5通り

- $b = 2$ のとき、$c = 3, 4, 5, 6$ の4通り

- $b = 3$ のとき、$c = 4, 5, 6$ の3通り

- $b = 4$ のとき、$c = 5, 6$ の2通り

- $b = 5$ のとき、$c = 6$ の1通り

- $b = 6$ のとき、該当する $c$ はありません。

$a \le b < c$ となる組は、

$\sum_{b=1}^5 (6-b) = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$

$a = b$の時、$1 \le a = b \le 5$に対して、$b < c \le 6$なので、$5+4+3+2+1=15$

$a < b$の時、$1 \le a < b \le 6$なので、${}_6C_2$

${}_6C_2 = 15$

よって、$a < b < c$

$1 \le a < b < c \le 6$は ${}_6C_3$で${}_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通り。

$a = b < c$は$1 \le a = b < c \le 6$。$a$と$c$を先に決めて、$a<c$となる組み合わせ数を求める。

$1 \le a < c \le 6$なので${}_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$

$20 + 15 = 35$通り

3. 最終的な答え

(1) 189通り

(2) 9通り

(3) 35通り