4つの面に1が書かれ、残りの2つの面に2が書かれた立方体を$n$回振ったとき、1回目から$n$回目までに出た面に書かれた数の和が偶数である確率を$p_n$とする。 (1) $p_1$と$p_2$を求める。 (2) $p_{n+1}$を$p_n$を用いて表す。 (3) $p_n$を求める。

1. 問題の内容

4つの面に1が書かれ、残りの2つの面に2が書かれた立方体を$n$回振ったとき、1回目から$n$回目までに出た面に書かれた数の和が偶数である確率を$p_n$とする。

(1) $p_1$と$p_2$を求める。

(2) $p_{n+1}$を$p_n$を用いて表す。

(3) $p_n$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $p_1$と$p_2$を求める。

- $p_1$について：

1回振って出た目の和が偶数になるのは、2が出たときなので、

$p_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

- $p_2$について：

2回振って出た目の和が偶数になるのは、(1, 1), (2, 2)のときである。

(1, 1)となる確率は、$\frac{4}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{16}{36}$

(2, 2)となる確率は、$\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{4}{36}$

よって、$p_2 = \frac{16}{36} + \frac{4}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

(2) $p_{n+1}$を$p_n$を用いて表す。

$n+1$回振って出た目の和が偶数になるのは、以下の2つの場合である。

- $n$回目までの和が偶数で、$n+1$回目に偶数(2)が出る場合。この確率は、$p_n \times \frac{2}{6} = \frac{1}{3}p_n$

- $n$回目までの和が奇数で、$n+1$回目に奇数(1)が出る場合。この確率は、$(1-p_n) \times \frac{4}{6} = \frac{2}{3}(1-p_n)$

したがって、

$p_{n+1} = \frac{1}{3}p_n + \frac{2}{3}(1-p_n) = \frac{1}{3}p_n + \frac{2}{3} - \frac{2}{3}p_n = -\frac{1}{3}p_n + \frac{2}{3}$

(3) $p_n$を求める。

$p_{n+1} = -\frac{1}{3}p_n + \frac{2}{3}$を変形する。

$p_{n+1} - \alpha = -\frac{1}{3}(p_n - \alpha)$とおくと、

$p_{n+1} = -\frac{1}{3}p_n + \frac{1}{3}\alpha + \alpha = -\frac{1}{3}p_n + \frac{4}{3}\alpha$

$\frac{4}{3}\alpha = \frac{2}{3}$より、$\alpha = \frac{1}{2}$

よって、$p_{n+1} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}(p_n - \frac{1}{2})$

数列$\{p_n - \frac{1}{2}\}$は、初項$p_1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$、公比$-\frac{1}{3}$の等比数列である。

したがって、$p_n - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}(-\frac{1}{3})^{n-1}$

$p_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{6}(-\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(-\frac{1}{3})^n = \frac{1}{2} + \frac{(-1)^n}{2\cdot 3^n}$

3. 最終的な答え

(1) $p_1 = \frac{1}{3}$, $p_2 = \frac{5}{9}$

(2) $p_{n+1} = -\frac{1}{3}p_n + \frac{2}{3}$

(3) $p_n = \frac{1}{2} + \frac{(-1)^n}{2\cdot 3^n}$