5人の人にそれぞれ書類を送る際に、宛名と書類の内容が食い違ってしまった。 (1) ちょうど2人分の宛名と書面が食い違っている場合は何通りあるか。 (2) ちょうど4人分の宛名と書面が食い違っている場合は何通りあるか。

1. 問題の内容

5人の人にそれぞれ書類を送る際に、宛名と書類の内容が食い違ってしまった。

(1) ちょうど2人分の宛名と書面が食い違っている場合は何通りあるか。

(2) ちょうど4人分の宛名と書面が食い違っている場合は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) ちょうど2人分の宛名と書面が食い違っている場合

まず、5人の中からどの2人が宛名と書面が食い違っているかを選ぶ。これは組み合わせの問題で、$_5C_2$通り。

$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

この2人を選んだとき、それぞれの宛名と書類が食い違うパターンは1通りしかない（Aの書類がBに、Bの書類がAに行く）。

残りの3人は正しい書類を受け取っている必要がある。

したがって、全部で10通り。

(2) ちょうど4人分の宛名と書面が食い違っている場合

まず、4人のうち、2人ずつペアを作って書類を交換する場合を考える。例えば、A, B, C, Dの4人がいたとして、AとB, CとDが書類を交換する場合。

4人の中から2人を選ぶ組み合わせは $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

次に残りの2人(C,D)について、CDの順番を変えるパターンは1通り。ただし、これはABCDの場合であり、AとBを入れ替えるパターンが全部で3通りある（(A,B)(C,D), (A,C)(B,D), (A,D)(B,C)）

残りの1人は正しい書類を受け取っている必要がある。

4人とも間違っている場合、4人が完全順列になっている必要がある。4人の完全順列の数は9通り。しかし、4人だけが食い違っているという条件では、残りの1人は正しい書類を受け取っている必要があるので、そのようなことは起こりえない。

もし4人全員が間違っているなら、残り一人は必ず間違ったものを受け取ることになる。なぜなら、4人分の書類が間違っている時点で、残された書類は1つしかなく、それは必ず残された1人にとって間違った書類になるからだ。

したがって、ちょうど4人分の宛名と書面が食い違っている場合は0通り。

3. 最終的な答え

(1) 10通り

(2) 0通り