人口100万人の都市で、1日平均1人の交通事故死亡事故が発生する。保険会社が、1日10円の保険料で、交通事故死の場合1000万円を支払う保険を提供した。全市民が加入した場合、会社が3日間で夜逃げしたという。以下の問いに答える。 (1) 会社が儲けた確率を求めよ。 (2) 会社が損得なしだった確率を求めよ。 (3) 会社が損をした確率を求めよ。 ただし、$e \approx 2.72$ とする。

1. 問題の内容

人口100万人の都市で、1日平均1人の交通事故死亡事故が発生する。保険会社が、1日10円の保険料で、交通事故死の場合1000万円を支払う保険を提供した。全市民が加入した場合、会社が3日間で夜逃げしたという。以下の問いに答える。

(1) 会社が儲けた確率を求めよ。

(2) 会社が損得なしだった確率を求めよ。

(3) 会社が損をした確率を求めよ。

ただし、$e \approx 2.72$ とする。

2. 解き方の手順

1日平均1人の死亡事故なので、3日間では平均3人の死亡事故が起こると考えられる。

ポアソン分布に従うと仮定する。

ポアソン分布の確率質量関数は、

$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

ここで、$X$は事象の発生回数、$k$は実際に発生した回数、$\lambda$は平均発生回数である。

この問題の場合、$\lambda = 3$ である。

(1) 会社が儲ける場合、支払う保険金が、受け取る保険料より少ない場合である。

3日間で、受け取る保険料は $1000000 \times 3 \times 10 = 30000000$ 円である。

支払う保険金は、1人あたり1000万円なので、

0人の場合：0円

1人の場合：1000万円

2人の場合：2000万円

3人の場合：3000万円

儲けるのは、3人以下の死亡事故の場合である。

0人の場合、$P(X=0) = \frac{e^{-3} 3^0}{0!} = e^{-3}$

1人の場合、$P(X=1) = \frac{e^{-3} 3^1}{1!} = 3e^{-3}$

2人の場合、$P(X=2) = \frac{e^{-3} 3^2}{2!} = \frac{9}{2} e^{-3}$

3人の場合、$P(X=3) = \frac{e^{-3} 3^3}{3!} = \frac{27}{6} e^{-3} = \frac{9}{2} e^{-3}$

$P(X \leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = e^{-3} + 3e^{-3} + \frac{9}{2}e^{-3} + \frac{9}{2}e^{-3} = e^{-3}(1+3+\frac{9}{2}+\frac{9}{2}) = e^{-3}(4+9) = 13e^{-3}$

$e \approx 2.72$なので、$e^{-3} \approx \frac{1}{2.72^3} \approx \frac{1}{20.05} \approx 0.0498$

$13e^{-3} \approx 13 \times 0.0498 \approx 0.6474$

(2) 損得なしの場合、支払う保険金の合計が、受け取る保険料の合計と等しい場合である。

つまり、死亡事故が3件の場合である。

$P(X=3) = \frac{e^{-3} 3^3}{3!} = \frac{27}{6} e^{-3} = \frac{9}{2} e^{-3} \approx \frac{9}{2} \times 0.0498 \approx 0.2241$

(3) 損をする場合、支払う保険金が、受け取る保険料より多い場合である。

これは、4人以上の死亡事故の場合である。

$P(X>3) = 1 - P(X \leq 3) = 1 - 13e^{-3} \approx 1 - 0.6474 = 0.3526$

3. 最終的な答え

(1) 会社が儲けた確率は約0.6474

(2) 会社が損得なしだった確率は約0.2241

(3) 会社が損をした確率は約0.3526