この問題は、さいころを複数個同時に投げたとき、出る目の積が6の倍数になる確率を求める問題です。 (1) 2個のさいころを投げた場合、 (2) 3個のさいころを投げた場合、 (3) n個のさいころを投げた場合 について、それぞれ確率を求める必要があります。

1. 問題の内容

この問題は、さいころを複数個同時に投げたとき、出る目の積が6の倍数になる確率を求める問題です。

(1) 2個のさいころを投げた場合、

(2) 3個のさいころを投げた場合、

(3) n個のさいころを投げた場合

について、それぞれ確率を求める必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 2個のさいころの場合：

全事象は$6 \times 6 = 36$通りです。

積が6の倍数にならない場合を考えます。つまり、どの目にも2と3の両方が含まれない場合を考えます。

具体的には、1, 2, 3, 4, 5, 6 のうち、2と3の少なくともどちらかを含まない目を選びます。

6の倍数にならない目は、(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)

しかし、この方法だと見落としがあるので、より構造的に考えます。

積が6の倍数にならないのは、以下のいずれかの場合です。

- どちらの目にも3が含まれない（つまり1, 2, 4, 5のみ）

- どちらの目にも2が含まれない（つまり1, 3, 5のみ）

- 片方の目には3が含まれず、もう片方の目には2が含まれない

事象A: 少なくとも一つの目が3の倍数(3,6)である

事象B: 少なくとも一つの目が2の倍数(2,4,6)である

求める確率は、$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$で計算できます。

$P(A) = 1 - (4/6)^2 = 1 - 16/36 = 20/36$

$P(B) = 1 - (3/6)^2 = 1 - 9/36 = 27/36$

$P(A \cap B) = 1 - P(\bar{A} \cup \bar{B})$

$P(\bar{A}) = (4/6)^2 = 16/36$

$P(\bar{B}) = (3/6)^2 = 9/36$

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = (2/6)^2 = 4/36$

$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\bar{A}) + P(\bar{B}) - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 16/36 + 9/36 - 4/36 = 21/36$

$P(A \cap B) = 1 - 21/36 = 15/36$

$P(A \cup B) = 20/36 + 27/36 - 15/36 = 32/36 = 8/9$

(2) 3個のさいころの場合：

全事象は$6 \times 6 \times 6 = 216$通りです。

積が6の倍数にならないのは、どの目にも2と3の両方が含まれない場合です。

- 3の倍数(3, 6)が一つも含まれない確率は $(4/6)^3 = (2/3)^3 = 8/27 = 64/216$

- 2の倍数(2, 4, 6)が一つも含まれない確率は $(3/6)^3 = (1/2)^3 = 1/8 = 27/216$

- 2の倍数も3の倍数も一つも含まれない確率は $(2/6)^3 = (1/3)^3 = 1/27 = 8/216$

少なくとも1つ2の倍数または3の倍数が出る確率 = 1 - (2の倍数も3の倍数も一つも出ない確率) - ((3の倍数だけ出る確率) + (2の倍数だけ出る確率))

求める確率は、$1 - (4/6)^3 - (3/6)^3 + (2/6)^3 = 1 - 64/216 - 27/216 + 8/216 = 1 - 83/216 = 133/216$

(3) n個のさいころの場合：

全事象は$6^n$通りです。

積が6の倍数にならないのは、どの目にも2と3の両方が含まれない場合です。

- どの目にも3の倍数(3, 6)が含まれない確率は$(4/6)^n$

- どの目にも2の倍数(2, 4, 6)が含まれない確率は$(3/6)^n$

- どの目にも2の倍数も3の倍数も含まれない確率は$(2/6)^n$

したがって、積が6の倍数になる確率は、

$1 - (4/6)^n - (3/6)^n + (2/6)^n = 1 - (2/3)^n - (1/2)^n + (1/3)^n$

3. 最終的な答え

(1) 2個のさいころの場合: $\frac{8}{9}$

(2) 3個のさいころの場合: $\frac{133}{216}$

(3) n個のさいころの場合: $1 - (\frac{2}{3})^n - (\frac{1}{2})^n + (\frac{1}{3})^n$