10人のグループにおいて、任意の1人が男である確率が$\frac{1}{2}$であるとき、グループ内で男女が5人ずつになる確率を求める。

1. 問題の内容

10人のグループにおいて、任意の1人が男である確率が$\frac{1}{2}$であるとき、グループ内で男女が5人ずつになる確率を求める。

2. 解き方の手順

この問題は二項分布の問題として解くことができます。

10人の中から5人が男性である確率を求めれば、残りの5人は自動的に女性になるため、男女が5人ずつになる確率が求まります。

二項分布の確率質量関数は、

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

で与えられます。

ここで、

$n$は試行回数（この場合は10人）、

$k$は成功回数（この場合は男性の人数である5人）、

$p$は成功確率（この場合は男性である確率である$\frac{1}{2}$）です。

したがって、$n=10$, $k=5$, $p=\frac{1}{2}$を上記の式に代入すると、

$P(X=5) = \binom{10}{5} (\frac{1}{2})^5 (1-\frac{1}{2})^{10-5}$

$P(X=5) = \binom{10}{5} (\frac{1}{2})^5 (\frac{1}{2})^5$

$P(X=5) = \binom{10}{5} (\frac{1}{2})^{10}$

$\binom{10}{5}$を計算します。

$\binom{10}{5} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{120} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252$

したがって、

$P(X=5) = 252 \times (\frac{1}{2})^{10} = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256}$

3. 最終的な答え

$\frac{63}{256}$