与えられたデータから、母平均の推定を行う問題です。具体的には、(a)データの平均値を計算し、(b)母平均に関する信頼係数95%の信頼区間を求めます。母分散は既知であると仮定します。

1. 問題の内容

与えられたデータから、母平均の推定を行う問題です。具体的には、(a)データの平均値を計算し、(b)母平均に関する信頼係数95%の信頼区間を求めます。母分散は既知であると仮定します。

2. 解き方の手順

(a) データの平均値の計算

与えられたデータ$\{83, 84, 86, 95, 93, 96, 86, 91, 87, 90, 101, 76, 104, 90, 85\}$の平均値を計算します。

平均値$\bar{x}$は、データの総和をデータ数で割ることで求められます。データ数は$n = 15$です。

データの総和は$83 + 84 + 86 + 95 + 93 + 96 + 86 + 91 + 87 + 90 + 101 + 76 + 104 + 90 + 85 = 1347$です。

したがって、平均値$\bar{x}$は

$\bar{x} = \frac{1347}{15} = 89.8$

(b) 信頼区間の計算

母分散$\sigma^2$は7の2乗$7^2=49$であるとされています。信頼係数95%の信頼区間を求めるには、標準誤差を計算し、それを用いて信頼区間の上限と下限を求めます。

標準誤差は、$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$で計算されます。

$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{7}{\sqrt{15}} \approx \frac{7}{3.873} \approx 1.807$

信頼区間の上限と下限は、平均値$\bar{x}$から$z_{\alpha/2}$に標準誤差をかけたものを足し引きすることで求められます。$z_{\alpha/2} = 1.96$が与えられています。

信頼区間の下限：$\bar{x} - z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 89.8 - 1.96 \times 1.807 \approx 89.8 - 3.54 \approx 86.26$

信頼区間の上限：$\bar{x} + z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 89.8 + 1.96 \times 1.807 \approx 89.8 + 3.54 \approx 93.34$

したがって、信頼区間は約$(86.26, 93.34)$となります。

3. 最終的な答え

(a) このデータの平均値は 89.8です。

(b) 母平均μに関する信頼係数95%の信頼区間は (86.3, 93.3) です。