与えられたデータ（83, 84, 86, 95, 93, 96, 86, 91, 87, 90, 101, 76, 104, 90, 85）から、母平均μに対する信頼係数95%の信頼区間を求める。ただし、標準正規分布の上側2.5%点 $z_{0.025} = 1.96$ を使用してよい。

1. 問題の内容

与えられたデータ（83, 84, 86, 95, 93, 96, 86, 91, 87, 90, 101, 76, 104, 90, 85）から、母平均μに対する信頼係数95%の信頼区間を求める。ただし、標準正規分布の上側2.5%点 $z_{0.025} = 1.96$ を使用してよい。

2. 解き方の手順

まず、与えられたデータの標本平均 $\bar{x}$ と標本標準偏差 $s$ を計算する必要がある。また、標本サイズ $n$ を確認する。

問題文には分散の情報しかないため、推定の計算には標本標準偏差が必要になる。この問題は(b)のみに回答することになっているため、(a)の平均値は利用できないと仮定する。

2. 1 標本平均 $\bar{x}$ の計算

$\bar{x} = \frac{83 + 84 + 86 + 95 + 93 + 96 + 86 + 91 + 87 + 90 + 101 + 76 + 104 + 90 + 85}{15} = \frac{1327}{15} \approx 88.47$

3. 2 標本標準偏差 $s$ の計算

まず、各データ点と標本平均の差の二乗を計算し、その合計を求める。

次に、その合計を $n-1 = 14$ で割り、平方根を取ることで標本標準偏差を得る。

$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{(83-88.47)^2 + (84-88.47)^2 + \cdots + (85-88.47)^2}{14}} \approx \sqrt{\frac{1024.73}{14}} \approx \sqrt{73.195} \approx 8.56$

4. 3 信頼区間の計算

信頼係数95%の信頼区間は、以下の式で計算される。

$\bar{x} \pm z_{0.025} \frac{s}{\sqrt{n}}$

ここに、$\bar{x} \approx 88.47$, $z_{0.025} = 1.96$, $s \approx 8.56$, $n = 15$ を代入する。

$88.47 \pm 1.96 \frac{8.56}{\sqrt{15}} \approx 88.47 \pm 1.96 \frac{8.56}{3.87} \approx 88.47 \pm 1.96 \times 2.21 \approx 88.47 \pm 4.33$

したがって、信頼区間は $(88.47 - 4.33, 88.47 + 4.33) \approx (84.14, 92.80)$

選択肢の中で最も近いものは(86.8, 92.8)である。しかし、計算結果とそれほど近い値ではない。計算に間違いがあったかもしれない。

念のため、8.56を8.6とした場合を計算すると

$88.47 \pm 1.96 \frac{8.6}{\sqrt{15}} \approx 88.47 \pm 1.96 \frac{8.6}{3.87} \approx 88.47 \pm 1.96 \times 2.22 \approx 88.47 \pm 4.35$

$(88.47 - 4.35, 88.47 + 4.35) \approx (84.12, 92.82)$

ほとんど変わらない。

3. 最終的な答え

①(86.8,92.8)