ベルヌーイ母集団からのサイズ3の標本変量 $X_1, X_2, X_3$ について、3つの統計量 $T_1 = X_1$, $T_2 = \frac{X_1+X_2}{2}$, $T_3 = \frac{X_1+X_2+X_3}{3}$ を考える。 (a) $E(T_1), E(T_2), E(T_3)$ の大小関係に関する記述から正しいものを選ぶ。 (b) $V(T_1), V(T_2), V(T_3)$ の大小関係に関する記述から正しいものを選ぶ。

1. 問題の内容

ベルヌーイ母集団からのサイズ3の標本変量 $X_1, X_2, X_3$ について、3つの統計量 $T_1 = X_1$, $T_2 = \frac{X_1+X_2}{2}$, $T_3 = \frac{X_1+X_2+X_3}{3}$ を考える。

(a) $E(T_1), E(T_2), E(T_3)$ の大小関係に関する記述から正しいものを選ぶ。

(b) $V(T_1), V(T_2), V(T_3)$ の大小関係に関する記述から正しいものを選ぶ。

2. 解き方の手順

(a) 期待値について

ベルヌーイ分布に従う確率変数 $X_i$ の期待値は $E(X_i) = p$ である。

$E(T_1) = E(X_1) = p$

$E(T_2) = E(\frac{X_1+X_2}{2}) = \frac{1}{2}(E(X_1) + E(X_2)) = \frac{1}{2}(p+p) = p$

$E(T_3) = E(\frac{X_1+X_2+X_3}{3}) = \frac{1}{3}(E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)) = \frac{1}{3}(p+p+p) = p$

したがって、$E(T_1) = E(T_2) = E(T_3) = p$ なので、選択肢④が正しい。

(b) 分散について

ベルヌーイ分布に従う確率変数 $X_i$ の分散は $V(X_i) = p(1-p)$ である。

$V(T_1) = V(X_1) = p(1-p)$

$V(T_2) = V(\frac{X_1+X_2}{2}) = \frac{1}{4}(V(X_1) + V(X_2)) = \frac{1}{4}(p(1-p) + p(1-p)) = \frac{1}{2}p(1-p)$

$V(T_3) = V(\frac{X_1+X_2+X_3}{3}) = \frac{1}{9}(V(X_1) + V(X_2) + V(X_3)) = \frac{1}{9}(p(1-p) + p(1-p) + p(1-p)) = \frac{1}{3}p(1-p)$

したがって、$V(T_1) = p(1-p)$, $V(T_2) = \frac{1}{2}p(1-p)$, $V(T_3) = \frac{1}{3}p(1-p)$ となり、$V(T_1) > V(T_2) > V(T_3)$ が成り立つので、選択肢③が正しい。

3. 最終的な答え

(a) 4

(b) 3