確率密度関数 $f(x)$ が与えられている。ただし、 $f(x) = \begin{cases} cx & (0 \le x \le 1) \\ 0 & (\text{それ以外}) \end{cases}$ ここで、$c$ は実定数である。 (1) $c$ の値を決定する。 (2) 確率変数 $X$ の分布関数を求める。 (3) $X$ の期待値と分散を求める。

## 問題3

1. 問題の内容

確率密度関数 $f(x)$ が与えられている。ただし、

$f(x) = \begin{cases} cx & (0 \le x \le 1) \\ 0 & (\text{それ以外}) \end{cases}$

ここで、$c$ は実定数である。

(1) $c$ の値を決定する。

(2) 確率変数 $X$ の分布関数を求める。

(3) $X$ の期待値と分散を求める。

2. 解き方の手順

(1) 確率密度関数の性質より、全区間での積分が 1 になる必要がある。つまり、

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$

この積分を計算し、$c$ の値を求める。

(2) 分布関数 $F(x)$ は、$F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$ で定義される。

$x$ の範囲に応じて積分を計算し、$F(x)$ を求める。

(3) 期待値 $E[X]$ は、$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$ で計算される。

分散 $Var[X]$ は、$Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2$ で計算される。ここで、$E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\int_{0}^{1} cx dx = 1$ より、

$\left[ \frac{cx^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{c}{2} = 1$

したがって、$c = 2$

(2) 分布関数 $F(x)$ は、

$F(x) = \begin{cases} 0 & (x < 0) \\ \int_{0}^{x} 2t dt = x^2 & (0 \le x \le 1) \\ 1 & (x > 1) \end{cases}$

(3) 期待値 $E[X]$ は、

$E[X] = \int_{0}^{1} x(2x) dx = \int_{0}^{1} 2x^2 dx = \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$

$E[X^2] = \int_{0}^{1} x^2(2x) dx = \int_{0}^{1} 2x^3 dx = \left[ \frac{2x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$

分散 $Var[X]$ は、

$Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{1}{2} - \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{9 - 8}{18} = \frac{1}{18}$

## 問題4

1. 問題の内容

任意の人が男である確率が 1/2 であるとき、10 人のグループで男女が 5 人ずつである確率を求める。

2. 解き方の手順

これは二項分布の問題である。10人中5人が男である確率を計算する。

確率質量関数は、$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、$n=10$, $k=5$, $p=1/2$ である。

3. 最終的な答え

$P(X=5) = \binom{10}{5} (1/2)^5 (1/2)^5 = \frac{10!}{5!5!} (1/2)^{10} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{1024} = 252 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256} \approx 0.246$

## 問題5

1. 問題の内容

100 万人の都市で、1 日平均 1 人が交通事故で死亡する。保険会社は 1 日 10 円の保険料で、交通事故死の場合 1000 万円を支払う。市民全員が加入し、会社は 3 日で夜逃げした。e ≈ 2.72 とする。

(1) 会社が儲けた確率を求める。

(2) 会社が損得なしだった確率を求める。

(3) 会社が損をした確率を求める。

2. 解き方の手順

これはポアソン分布の問題である。1日に死亡する人数は平均 1 人なので、λ = 1 である。3 日間では λ = 3 となる。

$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

会社の収入は 100 万人 x 10 円 x 3 日 = 3000 万円である。

(1) 会社が儲けるのは、死亡者が 2 人以下の場合である。つまり、0 人、1 人、2 人の場合である。

$P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$

(2) 会社が損得なしなのは、死亡者が 3 人の場合である。

$P(X=3)$

(3) 会社が損をするのは、死亡者が 4 人以上の場合である。

$P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)]$

3. 最終的な答え

λ = 3 より、

$P(X=0) = \frac{e^{-3} 3^0}{0!} = e^{-3} \approx \frac{1}{20.09} \approx 0.0498$

$P(X=1) = \frac{e^{-3} 3^1}{1!} = 3e^{-3} \approx 3 \cdot 0.0498 \approx 0.1494$

$P(X=2) = \frac{e^{-3} 3^2}{2!} = \frac{9}{2} e^{-3} \approx \frac{9}{2} \cdot 0.0498 \approx 0.2241$

$P(X=3) = \frac{e^{-3} 3^3}{3!} = \frac{27}{6} e^{-3} = \frac{9}{2} e^{-3} \approx \frac{9}{2} \cdot 0.0498 \approx 0.2241$

(1) $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \approx 0.0498 + 0.1494 + 0.2241 = 0.4233$

(2) $P(X=3) \approx 0.2241$

(3) $P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)) \approx 1 - (0.0498 + 0.1494 + 0.2241 + 0.2241) = 1 - 0.6474 = 0.3526$