母平均 $\mu$、母分散 $\sigma^2$ である母集団からの無作為標本 $X_1, X_2, ..., X_n$ が与えられたとき、標本平均 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ について、その期待値 $E(\bar{X})$ と分散 $V(\bar{X})$ を求める問題です。

1. 問題の内容

母平均 $\mu$、母分散 $\sigma^2$ である母集団からの無作為標本 $X_1, X_2, ..., X_n$ が与えられたとき、標本平均 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ について、その期待値 $E(\bar{X})$ と分散 $V(\bar{X})$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(a) 期待値 $E(\bar{X})$ を求める。

期待値の線形性より、

$E(\bar{X}) = E(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i)$

各 $X_i$ は母平均 $\mu$ を持つので、$E(X_i) = \mu$ です。よって、

$E(\bar{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mu = \frac{1}{n} (n\mu) = \mu$

したがって、$E(\bar{X}) = \mu$ となります。

(b) 分散 $V(\bar{X})$ を求める。

各 $X_i$ は独立であると仮定すると、

$V(\bar{X}) = V(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} V(X_i)$

各 $X_i$ は母分散 $\sigma^2$ を持つので、$V(X_i) = \sigma^2$ です。よって、

$V(\bar{X}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sigma^2 = \frac{1}{n^2} (n\sigma^2) = \frac{\sigma^2}{n}$

したがって、$V(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ となります。

3. 最終的な答え

(a) $E(\bar{X}) = \mu$ (選択肢 1)

(b) $V(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ (選択肢 3)