袋の中に赤玉1個、青玉1個、白玉2個が入っている。玉を1個取り出して色を確認後、元に戻す操作を繰り返す。赤玉を1回取り出すか、青玉を2回取り出すか、白玉を3回取り出したら試行を終了する。試行を終了するまでに玉を取り出した回数を$X$とする。 (1) $X=1$となる確率を求める。 (2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率を求める。また、$X=2$となる確率を求める。 (3) $X=4$となる確率を求める。また、$X$の期待値を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉1個、青玉1個、白玉2個が入っている。玉を1個取り出して色を確認後、元に戻す操作を繰り返す。赤玉を1回取り出すか、青玉を2回取り出すか、白玉を3回取り出したら試行を終了する。試行を終了するまでに玉を取り出した回数を$X$とする。

(1) $X=1$となる確率を求める。

(2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率を求める。また、$X=2$となる確率を求める。

(3) $X=4$となる確率を求める。また、$X$の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $X=1$となるのは、1回目に赤玉を取り出す場合のみである。

赤玉が出る確率は $\frac{1}{4}$である。

(2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率は、1回目と2回目に青玉が出る確率である。

青玉が出る確率は $\frac{1}{4}$であるから、確率は $(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$である。

$X=2$となるのは、

(a) 青玉を2回取り出す

(b) 1回目に赤以外が出て、2回目に赤が出る

(c) 1回目に白が出て、2回目に白が出る

の3通りがある。

(a)の確率は$\frac{1}{16}$であることは既に求めた。

(b)の確率は$\frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$である。

(c)の確率は$\frac{2}{4} \times \frac{2}{4} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$である。ただし2回白が出たら試行終了なので、これは条件を満たす。

よって、$X=2$となる確率は $\frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{4}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

(3) $X=4$となるのは、3回目まで終了せずに、4回目に終了する場合である。

終了条件は、赤玉を1回取り出す、青玉を2回取り出す、白玉を3回取り出す、のいずれかである。

$X=4$の場合を考える。

4回目に赤が出る場合：1, 2, 3回目は赤以外が出て、4回目に赤が出る。

この確率は $\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{27}{256}$

4回目に青が出て終了する場合：3回目までに青が1回出ていて、それ以外は白が出ている。そして4回目に青が出る。

3回目までに青が1回、白が2回出る確率は、$\binom{3}{1} (\frac{1}{4})(\frac{2}{4})^2 = 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{4}{16} = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}$

したがって、確率は $\frac{3}{16} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{64} = \frac{12}{256}$

4回目に白が出て終了する場合：3回目までに白が2回、青か赤が1回出ている。そして4回目に白が出る。

3回目までに白2回、青1回出る確率は、$\binom{3}{2} (\frac{2}{4})^2 (\frac{1}{4}) = 3 \times \frac{4}{16} \times \frac{1}{4} = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}$

3回目までに白2回、赤1回出る確率は、$\binom{3}{2} (\frac{2}{4})^2 (\frac{1}{4}) = 3 \times \frac{4}{16} \times \frac{1}{4} = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}$

したがって確率は $(\frac{3}{16}+\frac{3}{16}) \times \frac{2}{4} = \frac{6}{16} \times \frac{2}{4} = \frac{12}{64} = \frac{48}{256}$

よって、$X=4$となる確率は $\frac{27}{256} + \frac{12}{256} + \frac{48}{256} = \frac{87}{256}$

$X$の期待値

$X=1$のとき $P(X=1) = \frac{1}{4}$

$X=2$のとき $P(X=2) = \frac{1}{2}$

$X=3$のとき。3回目に終了する場合、3回目に赤玉が出る確率、3回目に青玉が出る確率、3回目に白玉が出る確率の和になる。

3回目に赤玉が出る確率は、 $\frac{3}{4}\times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{9}{64}$

3回目に青玉が出る確率は、$(\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} + \frac{2}{4} \times \frac{1}{4}) \times \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{8}{64} = \frac{2}{64}= \frac{8}{64} =\frac{8}{64}$ $\frac{4}{16} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{64}$

3回目に白玉が出る確率は、$\frac{1}{4}\frac{1}{4}\frac{2}{4} +\frac{1}{4}\frac{2}{4}\frac{1}{4}+ \frac{2}{4}\frac{1}{4}\frac{1}{4}= \frac{6}{64}= \frac{3}{64}= \frac{12}{64}=\frac{3}{64} \frac{3}{64}\cdot\frac{2}{4}=

期待値 = $\frac{1}{4} \times 1 + \frac{1}{2} \times 2 + \frac{87}{256} \times 4$.

3. 最終的な答え

(1) $X=1$となる確率は $\frac{1}{4}$

(2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率は $\frac{1}{16}$

$X=2$となる確率は $\frac{1}{2}$

(3) $X=4$となる確率は $\frac{87}{256}$