与えられた3つの関数について、マクローリン展開を4次の項（$x^4$ の項）まで求めます。 (1) $\frac{1}{x^2 - a^2}$ ($|x| < |a|$) (2) $\arctan x$ ($|x| < 1$) (3) $(1+x)^x$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、マクローリン展開を4次の項（$x^4$ の項）まで求めます。

(1) $\frac{1}{x^2 - a^2}$ ($|x| < |a|$)

(2) $\arctan x$ ($|x| < 1$)

(3) $(1+x)^x$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{x^2 - a^2}$ のマクローリン展開

まず、$\frac{1}{x^2 - a^2} = -\frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{1 - (x/a)^2}$ と変形します。 $|x| < |a|$ より $|x/a| < 1$ であるため、等比級数の公式 $\frac{1}{1-r} = 1 + r + r^2 + r^3 + \dots$ を用いることができます。

$\frac{1}{1 - (x/a)^2} = 1 + (x/a)^2 + (x/a)^4 + \dots$

したがって、

$\frac{1}{x^2 - a^2} = -\frac{1}{a^2} (1 + \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^4}{a^4} + \dots) = -\frac{1}{a^2} - \frac{x^2}{a^4} - \frac{x^4}{a^6} + \dots$

(2) $\arctan x$ のマクローリン展開

$\arctan x$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$ です。$\frac{1}{1+x^2}$ をマクローリン展開し、それを積分することで $\arctan x$ のマクローリン展開を求めます。

$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1 - (-x^2)} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots$

$\arctan x = \int \frac{1}{1+x^2} dx = \int (1 - x^2 + x^4 - \dots) dx = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots + C$

$\arctan 0 = 0$ であるから、$C=0$。

したがって、$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \dots$

(3) $(1+x)^x$ のマクローリン展開

$(1+x)^x = e^{x \ln(1+x)}$

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

$x \ln(1+x) = x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - \dots$

$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \dots$

$e^{x \ln(1+x)} = 1 + (x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} + \dots) + \frac{1}{2} (x^2 - \frac{x^3}{2} + \dots)^2 + \frac{1}{6} (x^2 + \dots)^3 + \dots$

$= 1 + x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} + \frac{1}{2} (x^4 - x^5 + \dots) + \dots$

$= 1 + x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} + \frac{x^4}{2} + \dots$

$= 1 + x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{5x^4}{6} + \dots$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{x^2 - a^2} = -\frac{1}{a^2} - \frac{x^2}{a^4} - \frac{x^4}{a^6} + O(x^6)$

(2) $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$

(3) $(1+x)^x = 1 + x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{5x^4}{6} + O(x^5)$