3つの商店P, Q, Rにおける商品の販売価格について、以下の情報が与えられています。 * 販売価格はP > Q > Rの順である。 * 3つの商店の販売価格の平均は282円である。 * 商店Pと商店Rの販売価格の差は20円である。 商店Rの販売価格の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

3つの商店P, Q, Rにおける商品の販売価格について、以下の情報が与えられています。

* 販売価格はP > Q > Rの順である。

* 3つの商店の販売価格の平均は282円である。

* 商店Pと商店Rの販売価格の差は20円である。

商店Rの販売価格の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

商店P, Q, Rの販売価格をそれぞれ$p, q, r$とおきます。

与えられた条件は以下の通りです。

1. $p > q > r$

2. $\frac{p + q + r}{3} = 282$

3. $p - r = 20$

条件2から、

$p + q + r = 3 \times 282 = 846$

条件3から、$p = r + 20$を上記に代入します。

$(r + 20) + q + r = 846$

$2r + q = 826$

$q = 826 - 2r$

ここで、$p > q > r$という条件から、

$r + 20 > 826 - 2r > r$

まず、$r + 20 > 826 - 2r$という条件から、

$3r > 806$

$r > \frac{806}{3} \approx 268.67$

次に、$826 - 2r > r$という条件から、

$826 > 3r$

$r < \frac{826}{3} \approx 275.33$

したがって、$268.67 < r < 275.33$となります。

$p, q, r$は整数である必要があるため、上記を満たす最小の整数$r$を求める必要があります。

また、$q=826 - 2r$も整数であり、$q$が最も小さくなる$r$を探す必要があります。

$r$が最も小さいとき、$q$は最大になる。

$p = r + 20$、$q = 826 - 2r$

$p > q > r$

$r + 20 > 826 - 2r > r$

$r + 20 > 826 - 2r$より、$3r > 806$。 $r$は整数なので、$r \geq 269$

$826 - 2r > r$より、$826 > 3r$。 $r < \frac{826}{3} \approx 275.33$。 $r$は整数なので、$r \leq 275$

$269 \le r \le 275$

$r$が最小となるのは、$q$が$r+1$のときである。

$826-2r = r+1$

$3r=825$

$r=275$

このとき、$p=r+20=295$、$q=826-2(275)=276$、$r=275$となり、$p>q>r$を満たす。

$r$が274の場合、$q = 826-2(274) = 278 > r+20-1=274+20-1 = 293$, これは矛盾する。

平均は $(275 + 276 + 295) / 3 = 846/3 = 282$であり、題意を満たす。

3. 最終的な答え

275