関数 $y = -2(x+1)^2 + c + 2$ において、$0 \le x \le 2$ の範囲での最小値が $-12$ であるとき、定数 $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -2(x+1)^2 + c + 2$ において、$0 \le x \le 2$ の範囲での最小値が $-12$ であるとき、定数 $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を変形します。

$y = -2(x+1)^2 + c + 2$

この関数は上に凸な放物線であり、頂点の $x$ 座標は $x = -1$ です。

定義域は $0 \le x \le 2$ なので、頂点は定義域に含まれません。

したがって、この範囲では、$x$ が増加するにつれて $y$ の値は減少します。

最小値は $x = 2$ のときに取ります。

$x = 2$ を代入すると、

$y = -2(2+1)^2 + c + 2 = -2(3)^2 + c + 2 = -2(9) + c + 2 = -18 + c + 2 = c - 16$

問題文より、最小値は $-12$ なので、

$c - 16 = -12$

これを解くと、

$c = -12 + 16 = 4$

3. 最終的な答え

$c = 4$