定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = 2x^2 - 4ax - a$ ($0 \le x \le 2$) の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = 2x^2 - 4ax - a$ ($0 \le x \le 2$) の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4ax - a = 2(x^2 - 2ax) - a = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - a = 2(x - a)^2 - 2a^2 - a$

この2次関数の頂点は $(a, -2a^2 - a)$ です。定義域が $0 \le x \le 2$ であるため、最大値は頂点の位置によって変わります。

(1) $a < 0$ のとき：

定義域内で関数は単調増加なので、$x = 2$ で最大値をとります。

最大値は $y = 2(2)^2 - 4a(2) - a = 8 - 8a - a = 8 - 9a$。

(2) $0 \le a \le 2$ のとき：

頂点が定義域内にあるため、定義域の端点である $x = 0$ または $x = 2$ で最大値をとります。

$x = 0$ のとき $y = -a$

$x = 2$ のとき $y = 8 - 9a$

$f(0) - f(2) = -a - (8 - 9a) = 8a - 8$.

したがって、

$0 \le a \le 1$ のとき、$x = 2$ で最大値 $8 - 9a$。

$1 < a \le 2$ のとき、$x = 0$ で最大値 $-a$。

(3) $a > 2$ のとき：

定義域内で関数は単調減少なので、$x = 0$ で最大値をとります。

最大値は $y = -a$。

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最大値は $8 - 9a$

$0 \le a \le 1$ のとき、最大値は $8 - 9a$

$1 < a \le 2$ のとき、最大値は $-a$

$a > 2$ のとき、最大値は $-a$

まとめると、

$a \le 1$ のとき、最大値は $8 - 9a$

$a > 1$ のとき、最大値は $-a$