次の和 $S$ を求めます。 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n - 1) \cdot 2^{n-1}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n - 1) \cdot 2^{n-1}$

2. 解き方の手順

まず、$2S$ を計算します。

$2S = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n - 3) \cdot 2^{n-1} + (2n - 1) \cdot 2^n$

次に、$S - 2S$ を計算します。

$S - 2S = 1 \cdot 1 + (3 - 1) \cdot 2 + (5 - 3) \cdot 2^2 + \dots + (2n - 1 - (2n - 3)) \cdot 2^{n-1} - (2n - 1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + 2 \cdot 2^{n-1} - (2n - 1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2(2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}) - (2n - 1) \cdot 2^n$

ここで、$2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}$ は初項 $2$、公比 $2$、項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2(2^{n-1} - 1) = 2^n - 2$

したがって、

$-S = 1 + 2(2^n - 2) - (2n - 1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n - 1) \cdot 2^n$

$-S = 2^{n+1} - 3 - 2n \cdot 2^n + 2^n$

$-S = 2^n(2 - 2n + 1) - 3$

$-S = 2^n(3 - 2n) - 3$

$S = 3 - (3 - 2n) \cdot 2^n$

$S = 3 + (2n - 3) \cdot 2^n$

3. 最終的な答え

$S = (2n - 3) \cdot 2^n + 3$