(1) 関数 $y = \frac{2^{3x} + 4^{x+1} + 2^{x+2}}{2^{x} + 2}$ の逆関数を求める。 (2) 関数 $y = \frac{3^{x} + 3^{-x}}{2}$ ($x \geq 0$) の逆関数を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \frac{2^{3x} + 4^{x+1} + 2^{x+2}}{2^{x} + 2}$ の逆関数を求める。

(2) 関数 $y = \frac{3^{x} + 3^{-x}}{2}$ ($x \geq 0$) の逆関数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた関数を整理する。

$y = \frac{2^{3x} + 4^{x+1} + 2^{x+2}}{2^{x} + 2} = \frac{(2^x)^3 + 4 \cdot (2^x)^2 + 4 \cdot 2^x}{2^x + 2}$

ここで、$t = 2^x$ とおくと、

$y = \frac{t^3 + 4t^2 + 4t}{t + 2} = \frac{t(t^2 + 4t + 4)}{t + 2} = \frac{t(t+2)^2}{t + 2} = t(t+2)$

したがって、

$y = t(t+2) = 2^x(2^x + 2) = (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x = (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x + 1 - 1 = (2^x + 1)^2 - 1$

$y + 1 = (2^x + 1)^2$

$2^x + 1 = \sqrt{y + 1}$ (since $2^x + 1 > 0$)

$2^x = \sqrt{y + 1} - 1$

$x = \log_2(\sqrt{y + 1} - 1)$

逆関数を求めるために、$x$ と $y$ を入れ替える。

$y = \log_2(\sqrt{x + 1} - 1)$

(2)

$y = \frac{3^x + 3^{-x}}{2}$

$2y = 3^x + 3^{-x}$

$2y = 3^x + \frac{1}{3^x}$

両辺に $3^x$ をかけると、

$2y \cdot 3^x = (3^x)^2 + 1$

$(3^x)^2 - 2y \cdot 3^x + 1 = 0$

$3^x$ に関する二次方程式として解くと、

$3^x = \frac{2y \pm \sqrt{4y^2 - 4}}{2} = y \pm \sqrt{y^2 - 1}$

ここで、$x \geq 0$ より、$3^x \geq 1$ である。また、$y = \frac{3^x + 3^{-x}}{2} \geq 1$ である。

$y + \sqrt{y^2 - 1} \geq 1$ は常に成り立つ。

$y - \sqrt{y^2 - 1} = \frac{(y - \sqrt{y^2 - 1})(y + \sqrt{y^2 - 1})}{y + \sqrt{y^2 - 1}} = \frac{y^2 - (y^2 - 1)}{y + \sqrt{y^2 - 1}} = \frac{1}{y + \sqrt{y^2 - 1}} > 0$

また、$y \geq 1$ より、$y + \sqrt{y^2 - 1} \geq 1$ であり、$0 < y - \sqrt{y^2 - 1} \leq 1$ となる。

$x \geq 0$ なので、$3^x \geq 1$ より、$3^x = y + \sqrt{y^2 - 1}$

$x = \log_3(y + \sqrt{y^2 - 1})$

逆関数を求めるために、$x$ と $y$ を入れ替える。

$y = \log_3(x + \sqrt{x^2 - 1})$

3. 最終的な答え

(1) $y = \log_2(\sqrt{x + 1} - 1)$

(2) $y = \log_3(x + \sqrt{x^2 - 1})$