$A = x^2 + y$, $B = 2 + y - y^2$, $C = 4x + 1$ であるとき、$A + B + C$ を因数分解する。

1. 問題の内容

$A = x^2 + y$, $B = 2 + y - y^2$, $C = 4x + 1$ であるとき、$A + B + C$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$A + B + C$ を計算する。

$A + B + C = (x^2 + y) + (2 + y - y^2) + (4x + 1)$

$= x^2 + y + 2 + y - y^2 + 4x + 1$

$= x^2 + 4x - y^2 + 2y + 3$

次に、平方完成を用いて $x^2 + 4x$ の部分を変形する。

$x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4$

したがって、

$A + B + C = (x + 2)^2 - 4 - y^2 + 2y + 3$

$= (x + 2)^2 - y^2 + 2y - 1$

$= (x + 2)^2 - (y^2 - 2y + 1)$

$= (x + 2)^2 - (y - 1)^2$

これは $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ の形をしているので、因数分解できる。ここで、$a = x + 2$、$b = y - 1$ とおくと、

$A + B + C = (x + 2 + y - 1)(x + 2 - (y - 1))$

$= (x + y + 1)(x - y + 3)$

3. 最終的な答え

$(x + y + 1)(x - y + 3)$