与えられた2つの式を因数分解します。 (1) $x^4 + 9x^2 + 25$ (3) $x^4 + x^2 + 1$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解します。

(1) $x^4 + 9x^2 + 25$

(3) $x^4 + x^2 + 1$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 + 9x^2 + 25$ の因数分解

$x^4 + 9x^2 + 25$ を平方完成させることを考えます。

$x^4 + 10x^2 + 25$ であれば $(x^2+5)^2$ になります。

そこで、$x^4 + 9x^2 + 25$ に $x^2$ を加えて、引きます。

$x^4 + 9x^2 + 25 = x^4 + 10x^2 + 25 - x^2 = (x^2+5)^2 - x^2$

この式は $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形になっています。

したがって、

$(x^2+5)^2 - x^2 = (x^2 + 5 + x)(x^2 + 5 - x) = (x^2 + x + 5)(x^2 - x + 5)$

(3) $x^4 + x^2 + 1$ の因数分解

$x^4 + x^2 + 1$ についても同様に平方完成させることを考えます。

$x^4 + 2x^2 + 1$ であれば $(x^2+1)^2$ になります。

そこで、$x^4 + x^2 + 1$ に $x^2$ を加えて、引きます。

$x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2$

この式も $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形になっています。

したがって、

$(x^2+1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x) = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $x^4 + 9x^2 + 25 = (x^2 + x + 5)(x^2 - x + 5)$

(3) $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$