関数 $f(x)$ が次のように定義されているとき、$f(x)$が連続であることを示す問題です。 $ f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases} $

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が次のように定義されているとき、$f(x)$が連続であることを示す問題です。

$f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が連続であるためには、任意の点 $x=a$ において、以下の3つの条件が成り立つ必要があります。

1. $f(a)$ が定義されている。

2. $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する。

3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

まず、$x \neq 0$ の場合、$x$ と $\sin \frac{1}{x}$ は連続関数なので、$f(x) = x \sin \frac{1}{x}$ も連続です。したがって、$x \neq 0$ においては $f(x)$ は連続です。

次に、$x=0$ における連続性を調べます。

1. $f(0)$ は定義されており、$f(0) = 0$ です。

2. $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在するかを調べます。

$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$

$-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$ なので、

$-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|$

$\lim_{x \to 0} -|x| = 0$ かつ $\lim_{x \to 0} |x| = 0$ であるため、挟みうちの原理より、

$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$

3. $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ であるかを調べます。

$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ であり、$f(0) = 0$ なので、

$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

したがって、$x=0$ においても $f(x)$ は連続です。

以上より、関数 $f(x)$ はすべての $x$ において連続であることが示されました。

3. 最終的な答え

関数 $f(x)$ は連続である。