関数 $f(x) = 2(e^x + e^{-x} \cos x) - x^3 - x^2$ の $x = 0$ における極大値・極小値を調べる。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2(e^x + e^{-x} \cos x) - x^3 - x^2$ の $x = 0$ における極大値・極小値を調べる。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ と2階導関数 $f''(x)$ を計算する。次に、$f'(0)$ を計算し、$f'(0) = 0$ であることを確認する。そして、$f''(0)$ を計算し、$f''(0)$ の符号によって極大・極小を判定する。

$f(x) = 2(e^x + e^{-x} \cos x) - x^3 - x^2$

$f'(x) = 2(e^x - e^{-x} \cos x - e^{-x} \sin x) - 3x^2 - 2x$

$f''(x) = 2(e^x + e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x + e^{-x} \sin x - e^{-x} \cos x) - 6x - 2$

$f''(x) = 2(e^x + 2e^{-x} \sin x) - 6x - 2$

$f'(0) = 2(e^0 - e^{-0} \cos 0 - e^{-0} \sin 0) - 3(0)^2 - 2(0) = 2(1 - 1 - 0) - 0 - 0 = 0$

$f''(0) = 2(e^0 + 2e^{-0} \sin 0) - 6(0) - 2 = 2(1 + 0) - 0 - 2 = 2 - 2 = 0$

$f'''(x) = 2(e^x + 2(-e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x)) - 6 = 2e^x - 4e^{-x} \sin x + 4e^{-x} \cos x - 6$

$f'''(0) = 2e^0 - 4e^{-0} \sin 0 + 4e^{-0} \cos 0 - 6 = 2 - 0 + 4 - 6 = 0$

$f''''(x) = 2e^x - 4(-e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x - e^{-x} \cos x - e^{-x} \sin x) = 2e^x + 8e^{-x} \sin x$

$f''''(0) = 2e^0 + 8e^{-0} \sin 0 = 2 + 0 = 2 > 0$

$f'(0) = 0$, $f''(0) = 0$, $f'''(0) = 0$, $f''''(0) > 0$ なので、$x=0$ で極小値をとる。

$f(0) = 2(e^0 + e^{-0} \cos 0) - 0^3 - 0^2 = 2(1 + 1) - 0 - 0 = 4$

3. 最終的な答え

$x = 0$ で極小値 $4$ をとる。極大値は存在しない。