$x$の3次式$P(x)$を求める問題です。$P(x)$は$x^2+1$で割ると余りが$x-1$であり、$x^2-x+1$で割ると余りが$5x-3$であるという条件が与えられています。

1. 問題の内容

$x$の3次式$P(x)$を求める問題です。$P(x)$は$x^2+1$で割ると余りが$x-1$であり、$x^2-x+1$で割ると余りが$5x-3$であるという条件が与えられています。

2. 解き方の手順

$P(x)$を$x^2+1$で割ったときの商を$ax+b$とおくと、余りが$x-1$であることから、

$P(x) = (x^2+1)(ax+b) + x - 1$

と表せます。同様に、$P(x)$を$x^2-x+1$で割ったときの商を$cx+d$とおくと、余りが$5x-3$であることから、

$P(x) = (x^2-x+1)(cx+d) + 5x - 3$

と表せます。したがって、

$(x^2+1)(ax+b) + x - 1 = (x^2-x+1)(cx+d) + 5x - 3$

が成り立ちます。展開して整理すると、

$ax^3 + bx^2 + ax + b + x - 1 = cx^3 + (d-c)x^2 + (c-d)x + d + 5x - 3$

$ax^3 + bx^2 + (a+1)x + b - 1 = cx^3 + (d-c)x^2 + (c-d+5)x + d - 3$

両辺の係数を比較すると、

$a = c$

$b = d - c$

$a+1 = c - d + 5$

$b-1 = d - 3$

これらの連立方程式を解きます。$a=c$より、

$a+1 = a - d + 5$

$d = 4$

$b-1 = d - 3$より、

$b-1 = 4 - 3 = 1$

$b = 2$

$b = d - c$より、

$2 = 4 - c$

$c = 2$

$a = c$より、

$a = 2$

したがって、$a=2$, $b=2$, $c=2$, $d=4$となります。

これらの値を$P(x)$の式に代入すると、

$P(x) = (x^2+1)(2x+2) + x - 1$

$P(x) = 2x^3 + 2x^2 + 2x + 2 + x - 1$

$P(x) = 2x^3 + 2x^2 + 3x + 1$

または、

$P(x) = (x^2-x+1)(2x+4) + 5x - 3$

$P(x) = 2x^3 + 4x^2 - 2x^2 - 4x + 2x + 4 + 5x - 3$

$P(x) = 2x^3 + 2x^2 + 3x + 1$

3. 最終的な答え

$2x^3 + 2x^2 + 3x + 1$