与えられた数式を展開し、整理する問題です。 具体的には、以下の2つの数式を計算します。 (1) $(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$ (2) $(a+b+c)^2+(a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2$

1. 問題の内容

与えられた数式を展開し、整理する問題です。

具体的には、以下の2つの数式を計算します。

(1) $(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$

(2) $(a+b+c)^2+(a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2$

2. 解き方の手順

(1) の手順：

まず、$(x+2)(x-2)$ と $(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$ を計算します。

$(x+2)(x-2) = x^2 - 4$

$(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$ は、 $A = x^2+4$、$B = 2x$ と置くと、$(A+B)(A-B)$ となります。よって、

$(x^2+2x+4)(x^2-2x+4) = (x^2+4)^2 - (2x)^2 = x^4 + 8x^2 + 16 - 4x^2 = x^4 + 4x^2 + 16$

次に、$(x^2 - 4)(x^4 + 4x^2 + 16)$ を計算します。

$x^2 = t$ と置くと、

$(t-4)(t^2+4t+16) = t^3 - 64$

よって、$(x^2 - 4)(x^4 + 4x^2 + 16) = (x^2)^3 - 64 = x^6 - 64$

(2) の手順：

各項を展開し、整理します。

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca$

$(b+c-a)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2bc - 2ca$

$(c+a-b)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca$

したがって、

$(a+b+c)^2+(a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2$

$= (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) + (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca) + (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2bc - 2ca) + (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca)$

$= 4a^2 + 4b^2 + 4c^2$

3. 最終的な答え

(1) $x^6 - 64$

(2) $4a^2 + 4b^2 + 4c^2$