与えられた式 $3x^2+7xy-6y^2-11x+11y-4$ を因数分解する問題です。画像内の計算過程から、$x$ について整理して因数分解を行うようです。

1. 問題の内容

与えられた式 $3x^2+7xy-6y^2-11x+11y-4$ を因数分解する問題です。画像内の計算過程から、$x$ について整理して因数分解を行うようです。

2. 解き方の手順

まず、$x$について式を整理します。

$3x^2 + 7xy - 6y^2 - 11x + 11y - 4 = 3x^2 + (7y-11)x - (6y^2 - 11y + 4)$

次に、定数項 $6y^2 - 11y + 4$ を因数分解します。

$6y^2 - 11y + 4 = (2y-1)(3y-4)$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$3x^2 + (7y-11)x - (2y-1)(3y-4)$

ここで、与式を因数分解できると仮定して、

$(3x+Ay+B)(x+Cy+D)$ の形になると考えます。

$AC=-2$, $BD = 4$

$3x^2 + (3Cy + 3D + Ay + B)x + ACy^2 + (AD+BC)y + BD$

$3x^2 + (3C+A)yx + (3D+B)x + ACy^2 + (AD+BC)y + BD$

この形が $3x^2 + (7y-11)x - (6y^2 - 11y + 4)$ と一致するように $A, B, C, D$ を決定します。

$3C+A = 7$ かつ $AC = -6$

$3D+B = -11$ かつ $BD = 4$

$6y^2-11y+4=(2y-1)(3y-4)$なので、

定数項は$-(2y-1)(3y-4)$ です。したがって、

$-(2y-1)(3y-4)= -6y^2+11y-4$

$3x^2 + (7y-11)x - (2y-1)(3y-4)$

$=(3x + a(2y-1))(x+b(3y-4))$ もしくは $(3x + a(3y-4))(x+b(2y-1))$ の形になると考えます。

$(3x + a(2y-1))(x+b(3y-4))= 3x^2+ 9bxy - 12bx+2axy-ax+6aby^2-3aby -ay +4a$

$=3x^2 + (9b+2a)xy + (3ab)y^2 +(-12b-a)x+(-3ab-a)y+4a$

$3x^2 + (7y-11)x - (6y^2 - 11y + 4) = 3x^2 + (7y-11)x - 6y^2 + 11y - 4$

この式を展開すると$3x^2 + (9b+2a)yx + (3ab)y^2 +(-12b-a)x+(-3ab-a)y+4a$なので、係数比較をすると

$3ab = -6$

$9b+2a=7$

$-12b-a = -11$

$-3ab-a= 11$

$4a=-4$

$a=-1$

$3ab = -6$, $-3b=-6$, $b=2$

$9b+2a=18-2=16 \neq 7$

$-12b-a= -24 + 1 = -23 \neq -11$

$(3x + a(3y-4))(x+b(2y-1)) = 3x^2+6bxy -3bx+3axy-4ax+6aby^2-4aby -ay +a$

$3x^2 + (6b+3a)yx + (6ab)y^2 +(-3b-4a)x+(-4ab-a)y+a$

$6b+3a=7$

$6ab=-6$

$-3b-4a=-11$

$-4ab-a = 11$

$a=-1$とすると $6b-3=7$, $6b=10$となり、$b$が整数にならない。

$6ab=-6$から$ab=-1$

$a=1, b=-1$を$-3b-4a=-11$に代入すると$3-4=-1 \neq -11$

$3x^2 + (7y-11)x - (6y^2 - 11y + 4)$

$=(3x+Ay+B)(x+Cy+D)= 3x^2 + (3C+A)xy+3Dx+Axy + ACy^2+ADy + Bx + BCy + BD$

$=3x^2 + (3C+A)xy + ACy^2 + (3D+B)x + (AD+BC)y + BD$

$AC=-6$

$BD=-4$

$(3x-2y+1)(x+3y-4)= 3x^2+9xy-12x-2xy-6y^2+8y+x+3y-4=3x^2+7xy-11x-6y^2+11y-4$

$3x^2 + 7xy - 6y^2 - 11x + 11y - 4$

3. 最終的な答え

$(3x-2y+1)(x+3y-4)$