与えられた微分方程式 $y' = \frac{3x - y + 13}{x + y + 3}$ の一般解を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式

$y' = \frac{3x - y + 13}{x + y + 3}$

の一般解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、この微分方程式が同次形になるように、平行移動を行う。

$x = X + h$, $y = Y + k$ とおく。すると、$y' = \frac{dY}{dX}$ となる。

与えられた微分方程式に代入すると、

$\frac{dY}{dX} = \frac{3(X + h) - (Y + k) + 13}{(X + h) + (Y + k) + 3} = \frac{3X - Y + 3h - k + 13}{X + Y + h + k + 3}$

となる。

$3h - k + 13 = 0$ かつ $h + k + 3 = 0$ となるように $h, k$ を定めると、

$3h - k = -13$

$h + k = -3$

2つの式を足すと、

$4h = -16$

$h = -4$

$k = -3 - h = -3 - (-4) = 1$

したがって、$x = X - 4$, $y = Y + 1$。

このとき、微分方程式は

$\frac{dY}{dX} = \frac{3X - Y}{X + Y}$

となる。これは同次形であるから、$Y = vX$ とおくと、

$\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$

したがって、

$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{3X - vX}{X + vX} = \frac{3 - v}{1 + v}$

$X\frac{dv}{dX} = \frac{3 - v}{1 + v} - v = \frac{3 - v - v - v^2}{1 + v} = \frac{-v^2 - 2v + 3}{1 + v} = -\frac{(v+3)(v-1)}{1+v}$

$\frac{1+v}{(v+3)(v-1)}dv = -\frac{dX}{X}$

$\frac{1+v}{(v+3)(v-1)} = \frac{A}{v+3} + \frac{B}{v-1}$ と部分分数分解する。

$1+v = A(v-1) + B(v+3)$

$v=1$ のとき $2 = 4B$, $B = \frac{1}{2}$

$v=-3$ のとき $-2 = -4A$, $A = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}\int (\frac{1}{v+3} + \frac{1}{v-1}) dv = -\int \frac{dX}{X}$

$\frac{1}{2} \ln |(v+3)(v-1)| = -\ln|X| + C_1$

$\ln |(v+3)(v-1)| = -2\ln|X| + C_2$

$|(v+3)(v-1)| = e^{C_2} X^{-2}$

$(v+3)(v-1) = \frac{C}{X^2}$ （ただし、$C = \pm e^{C_2}$）

$( \frac{Y}{X} + 3 ) ( \frac{Y}{X} - 1 ) = \frac{C}{X^2}$

$(Y + 3X)(Y - X) = C$

$(y - 1 + 3(x + 4))(y - 1 - (x + 4)) = C$

$(y - 1 + 3x + 12)(y - 1 - x - 4) = C$

$(y + 3x + 11)(y - x - 5) = C$

3. 最終的な答え

$(y + 3x + 11)(y - x - 5) = C$