ある仕事を仕上げるのにAさんは12日間、Bさんは18日間、Cさんは24日間かかる。この仕事を、1日目はAさんとBさん、2日目はBさんとCさん、3日目はCさんとAさんがそれぞれ行う。4日目以降はこのローテーションを繰り返すとすると、始めてから何日目に終わるか。

1. 問題の内容

ある仕事を仕上げるのにAさんは12日間、Bさんは18日間、Cさんは24日間かかる。この仕事を、1日目はAさんとBさん、2日目はBさんとCさん、3日目はCさんとAさんがそれぞれ行う。4日目以降はこのローテーションを繰り返すとすると、始めてから何日目に終わるか。

2. 解き方の手順

まず、全体の仕事量を1とする。

次に、A, B, Cが1日にできる仕事量を計算する。

A: $\frac{1}{12}$

B: $\frac{1}{18}$

C: $\frac{1}{24}$

1日目: AとBが仕事をするので、1日にできる仕事量は $\frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{5}{36}$

2日目: BとCが仕事をするので、1日にできる仕事量は $\frac{1}{18} + \frac{1}{24} = \frac{4}{72} + \frac{3}{72} = \frac{7}{72}$

3日目: CとAが仕事をするので、1日にできる仕事量は $\frac{1}{24} + \frac{1}{12} = \frac{1}{24} + \frac{2}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$

3日間でできる仕事量は $\frac{5}{36} + \frac{7}{72} + \frac{1}{8} = \frac{10}{72} + \frac{7}{72} + \frac{9}{72} = \frac{26}{72} = \frac{13}{36}$

$n$ 回この3日間のローテーションを繰り返すと、$\frac{13}{36}n$ の仕事が終わる。

$\frac{13}{36}n \leq 1$ となる最大の整数 $n$ を求める。

$n = \frac{36}{13} \approx 2.77$ なので、$n = 2$ となる。

2 * 3 = 6日間の仕事で $\frac{13}{36} * 2 = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}$ の仕事が終わる。

残りの仕事量は $1 - \frac{13}{18} = \frac{5}{18}$

7日目 (1日目と同じ): AとBが仕事をするので、できる仕事量は $\frac{5}{36}$ 。

$\frac{5}{18} - \frac{5}{36} = \frac{10}{36} - \frac{5}{36} = \frac{5}{36}$

$\frac{5}{36}$ の仕事が残る。

8日目 (2日目と同じ): BとCが仕事をするので、できる仕事量は $\frac{7}{72}$ 。

$\frac{5}{36} = \frac{10}{72}$ なので、$\frac{7}{72}$ の仕事をするだけで終わる。

$\frac{10}{72} - \frac{7}{72} = \frac{3}{72} = \frac{1}{24}$

8日目には仕事が終わらない。

しかし、問題文をよく読むと、AさんとBさんなどがそれぞれ行います。と書いてあるので、日を跨いでも良いと考えられる。

7日目にAとBは $\frac{5}{36}$ 仕事をする。残りの仕事は $\frac{5}{18} = \frac{10}{36}$ なので、7日目に全て終わらない。

$\frac{10}{36}$ の仕事をするのに必要な日数は $\frac{5}{18} / \frac{5}{36} = 2$ なので、7日目に仕事が終わるとすると、7日目に全てが終わることになる。

しかし、7日目にAとBが行う仕事量は $\frac{5}{36}$ なので、$\frac{5}{18}$ の仕事は終わらない。

7日目にAとBが行い、8日目にBとCが行うとすると、BとCは一日で$\frac{7}{72}$ の仕事をする。

残りの仕事量は $\frac{5}{36} = \frac{10}{72}$ なので、BとCが $\frac{10}{72}$ の仕事をするのに必要な日数は $\frac{10}{72} / \frac{7}{72} = \frac{10}{7} \approx 1.43$日となる。

したがって、合計日数は 6 + 1 + 1.43 = 8.43日。これはありえない。

仕事が終わるまでに必要な日数を $x$ とすると、

3日間のローテーションを繰り返すと、$\frac{13}{36}$の仕事が終わるので、

$3n$ 日後には $\frac{13n}{36}$ の仕事が終わる。

$n=2$ とすると、6日後には $\frac{26}{36}$ の仕事が終わる。残りは $\frac{10}{36}$

7日目にはAとBが仕事をするので、$\frac{5}{36}$ の仕事が終わる。残りは $\frac{5}{36}$

8日目にはBとCが仕事をするので、$\frac{7}{72}$ の仕事が終わる。$\frac{7}{72} > \frac{5}{36} = \frac{10}{72}$ なので、8日目に仕事が終わる。

$\frac{5}{36}$ の仕事をするのに必要な日数は $\frac{5}{36} / \frac{7}{72} = \frac{5}{36} * \frac{72}{7} = \frac{10}{7}$ 日。

したがって、8日目ではなく、6 + 1 + $\frac{10}{7}$ = 7 + $\frac{10}{7}$ = $\frac{59}{7} \approx 8.43$ 日で終わる。

３. 最終的な答え

8日目